若a1>0,a1≠1,an+1=2an1+an(n=1,2,…)(1)求证:an+1≠an;(2)令a1=12,写出a2、a3、a4、a5的值,观察并归纳出这个
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若a1>0,a1≠1,an+1=2an1+an(n=1,2,…)(1)求证:an+1≠an;(2)令a1=12,写出a2、a3、a4、a5的值,观察并归纳出这个
题型:不详
难度:
来源:
若a
1
>0,a
1
≠1,a
n+1
=
2
a
n
1+
a
n
(n=1,2,…)
(1)求证:a
n+1
≠a
n
;
(2)令a
1
=
1
2
,写出a
2
、a
3
、a
4
、a
5
的值,观察并归纳出这个数列的通项公式a
n
;
(3)证明:存在不等于零的常数p,使
{
a
n
+P
a
n
}
是等比数列,并求出公比q的值.
答案
(1)采用反证法.若a
n+1
=a
n
,即
2
a
n
1+
a
n
=a
n
,解得 a
n
=0或1,
从而a
n
=a
n1
=…a
2
=a
1
=0或1与题设a
1
>0,a
1
≠1相矛盾,故a
n+1
≠a
n
成立.
(2)a
1
=
1
2
,a
2
=
2
3
,a
3
=
4
5
,a
4
=
8
9
,a
5
=
16
17
,a
n
=
2
n-1
2
n-1
+1
.
(3)因为
a
n+1
+p
a
n+1
=
(2+p)
a
n
+p
2
a
n
,又
a
n+1
+p
a
n+1
=
a
n
+p
a
n
-q,
所以(2+p-2q)a
n
=p(1-2p),
因为上式是关于变量a
n
的恒等式,故可解得q=
1
2
、p=-1.
举一反三
(文科)已知数列{a
n
}的首项a
1
=1,前n项和为S
n
,且a
n+1
=2S
n
+2
n
-1(nϵN
*
)
(1)设b
n
=a
n
+2
n
(nϵN
*
),证明数列{b
n
}是等比数列;
(2)设
C
n
=
2
n
(1+
3
n
-
a
n
)(1+
3
n+1
-
a
n+1
)
(n∈N
*
),求T
n
=c
1
+c
2
+…+c
n
.
题型:不详
难度:
|
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在等比数列{a
n
}中,若a
1
=1,a
2
=4,则公比q=______.
题型:不详
难度:
|
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将一个骰子连续投掷三次,它落地时向上的点数依次成等比数列的概率是( )
A.
1
12
B.
1
15
C.
1
18
D.
1
27
题型:不详
难度:
|
查看答案
在等比数列{a
n
}中,a
1
+a
5
=82,a
2
•a
4
=81,则a
3
=______.
题型:不详
难度:
|
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设双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1(a>0,b>0)的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列,则双曲线的离心率为( )
A.
5
2
B.
5
+1
2
C.
2
D.
3
题型:不详
难度:
|
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