试题分析:(1)过点D作DE ⊥ A1 C 于E点,取AC的中点F,连BF ﹑EF,先证直线DE⊥面AA1C1C,再证BF⊥面AA1C1C,得D,E,F,B共面,再证DB∥EF ,从而有EF∥AA1,易得所证结论;(2)法1:建立空间直角坐标系,找出所需点的坐标,分别设出面DA1C和平面AA1DB的法向量,并列方程计算出来,再利用向量的数量积计算两向量的夹角的余弦值,便可得得值;法2:延长A1 D与直线AB相交于G,易知CB⊥面AA1B1B,过B作BH⊥A1 G于点H,连CH,证明∠CHB为二面角A -A1D - C的平面角,在CHB中,根据条件计算的表达式,可得结论. 试题解析:(1)过点D作DE ⊥ A1 C 于E点,取AC的中点F,连BF ﹑EF. ∵面DA1 C⊥面AA1C1C且相交于A1 C,面DA1 C内的直线DE ⊥ A1 C,∴直线DE⊥面AA1C1C ,3分 又∵面BA C⊥面AA1C1C且相交于AC,易知BF⊥AC,∴BF⊥面AA1C1C 由此知:DE∥BF ,从而有D,E,F,B共面,又易知BB1∥面AA1C1C,故有DB∥EF ,从而有EF∥AA1, 又点F是AC的中点,所以DB = EF = AA1= BB1,所以D点为棱BB1的中点; 6分
(2)解法1:建立如图所示的直角坐标系,设AA1= 2b ,AB=BC = ,则D(0,0,b), A1 (a,0,2b), C (0,a,0), 7分 所以, , 8分 设面DA1C的法向量为则 可取, 又可取平面AA1DB的法向量, cos〈〉, 10分 据题意有:, 12分 解得: = . 13分
解法2:延长A1 D与直线AB相交于G,易知CB⊥面AA1B1B, 过B作BH⊥A1 G于点H,连CH,由三垂线定理知:A1 G⊥CH, 由此知∠CHB为二面角A -A1D - C的平面角; 9分 设AA1= 2b ,AB=BC =;在直角三角形A1A G中,易知AB = BG. 在DBG中,BH = = , 10分 在CHB中,tan∠CHB = = , 据题意有: = tan600 = , 解得:所以 = . 13分 |