已知正数a,b,c满足:ab+bc+ca=1.(1)求证:(a+b+c)2≥3;(2)求abc+bac+cab的最大值.
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已知正数a,b,c满足:ab+bc+ca=1.(1)求证:(a+b+c)2≥3;(2)求abc+bac+cab的最大值.
题型:不详
难度:
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已知正数a,b,c满足:ab+bc+ca=1.
(1)求证:(a+b+c)
2
≥3;(2)求
a
bc
+b
ac
+c
ab
的最大值.
答案
(1)∵a
2
+b
2
+c
2
≥ab+bc+ca
∴(a+b+c)
2
=a
2
+b
2
+c
2
+2ab+2bc+2ac≥3(ab+bc+ca)=3
当且仅当a=b=c取等号,故原不等式成立;
(2)∵
a
bc
≤a×
b+c
2
=
ab+ac
2
b
ac
≤b×
a+c
2
=
ab+bc
2
c
ab
≤c×
a+b
2
=
ac+bc
2
∴
a
bc
+b
ac
+c
ab
≤ab+bc+ca=1
当且仅当a=b=c取等号,
∴
a
bc
+b
ac
+c
ab
的最大值为1.
举一反三
若直线ax+2by-2=0(a,b∈(0,+∞))平分圆x
2
+y
2
-4x-2y-6=0,则
1
a
+
2
b
的最小值是______.
题型:不详
难度:
|
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函数y=3x
2
+
6
x
2
+1
的最小值是( )
A.3
2
-3
B.-3
C.6
2
D.6
2
-3
题型:不详
难度:
|
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若f(x)=x+
1
x-2
(x>2)在x=n处取得最小值,则n=( )
A.1
B.3
C.
7
2
D.4
题型:不详
难度:
|
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如果圆柱轴截面的周长l为定值,则体积的最大值为______.
题型:不详
难度:
|
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设M是△ABC内一点,且
AB
•
AC
=4
3
,∠BAC=30°
,定义f(M)=(m,n,p),其中
m,n,p分别是△MBC,△MCA,△MAB的面积,若f(M)=(1,x,y),则
1
x
+
4
y
的最小值
( )
A.7
B.8
C.9
D.10
题型:不详
难度:
|
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