已知m=21a+1b,n=a+b2(1)分别就a=1b=1和a=1b=2判断m与n的大小关系,并由此猜想对于任意的a,b∈R+,m与n的大小关系及取得等号的条件

已知m=21a+1b,n=a+b2(1)分别就a=1b=1和a=1b=2判断m与n的大小关系,并由此猜想对于任意的a,b∈R+,m与n的大小关系及取得等号的条件

题型:不详难度:来源:
已知m=
2
1
a
+
1
b
n=
a+b
2

(1)分别就





a=1
b=1





a=1
b=2
判断m与n的大小关系,并由此猜想对于任意的a,b∈R+,m与n的大小关系及取得等号的条件;
(2)类比第(1)小题的猜想,得出关于任意的a,b,c∈R+相应的猜想,并证明这个猜想.
答案
(1)当





a=1
b=1
时,m=n=1,当





a=1
b=2
时,m=
4
3
<n=
3
2
,…(2分)
故由此可以猜想:
任意的a,b∈R+,有m=
2
1
a
+
1
b
n=
a+b
2
,当且仅当a=b时取得等号;…(4分)
(2)类比第(1)小题,对于任意的a,b,c∈R+
猜想:m=
3
1
a
+
1
b
+
1
c
n=
a+b+c
3
,当且仅当a=b=c时取得等号.…(5分)
证明如下:
对于a,b,c∈R+,要证
3
1
a
+
1
b
+
1
c
a+b+c
3
成立,
只需证:9≤(a+b+c)(
1
a
+
1
b
+
1
c
)
…(7分)
即证:9≤3+
a
b
+
a
c
+
b
a
+
b
c
+
c
a
+
c
b

即证:6≤(
a
b
+
b
a
)+(
a
c
+
c
a
)+(
b
c
+
c
b
)
(*)     …(9分)
∵对于a,b,c∈R+,有
a
b
+
b
a
≥2


a
b
b
a
=2

同理:
a
c
+
c
a
≥2
b
c
+
c
b
≥2
…(11分)
∴不等式(*)成立.
要使(*)的等号成立,必须
b
a
=
a
b
c
a
=
a
c
b
c
=
c
b

故当a=b=c时等号成立.     …(12分)
说明:采用其它方法作答的,只是逻辑严密,言之有理,可以根据作答情况酌情给分.
举一反三
已知a+3b=1,则2a+8b的最小值是______.
题型:不详难度:| 查看答案
若x∈R+,则x+
4
x+1
的最小值为______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知数列{an}满足a1=33,an+1-an=2n,则
an
n
的最小值为______.
题型:辽宁难度:| 查看答案
某村计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室.在温室内,沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道,沿前侧内墙保留3 m宽的空地.当矩形温室的边长各为多少时?蔬菜的种植面积最大?最大种植面积是多少?魔方格
题型:陕西难度:| 查看答案
已知不等式(x+y)(
1
x
+
a
y
)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为(  )
A.2B.4C.6D.8
题型:陕西难度:| 查看答案
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