如图,建立平面直角坐标系xOy,x轴在地平面上,y轴垂直于地平面,单位长度为1千米,某炮位于坐标原点,已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx-(1+k2)x2(k>
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如图,建立平面直角坐标系xOy,x轴在地平面上,y轴垂直于地平面,单位长度为1千米,某炮位于坐标原点,已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx-(1+k2)x2(k>
题型:高考真题
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如图,建立平面直角坐标系xOy,x轴在地平面上,y轴垂直于地平面,单位长度为1千米,某炮位于坐标原点,已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx-
(1+k
2
)x
2
(k>0)表示的曲线上,其中k与发射方向有关,炮的射程是指炮弹落地点的横坐标。
(1)求炮的最大射程;
(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标a不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由。
答案
解:(1)在 y=kx-
(1+k
2
)x
2
(k>0)中,令y=0,得 kx-
(1+k
2
)x
2
=0
由实际意义和题设条件知x>0,k>0
∴
,当且仅当k=1时取等号
∴炮的最大射程是10千米。
(2)∵a>0,
∴炮弹可以击中目标等价于存在k>0,使ka-
(1+k
2
)a
2
=3.2成立,
即关于k的方程a
2
k
2
-20ak+a
2
+64=0有正根
由△=400a
2
-4a
2
(a
2
+64)≥0得a≤6
此时,k=
>0(不考虑另一根)
∴当a不超过6千米时,炮弹可以击中目标。
举一反三
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,(a﹣b)
2
=16(ab)
3
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