已知函数f(x)=2x+1.(I)解不等式|f(x)|+|f(x2)-3|>4;(II)若x≠0,求证:|f(x2)-f(y2)|2|x|≥|x|-|y|.
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已知函数f(x)=2x+1.(I)解不等式|f(x)|+|f(x2)-3|>4;(II)若x≠0,求证:|f(x2)-f(y2)|2|x|≥|x|-|y|.
题型:丹东二模
难度:
来源:
已知函数f(x)=2x+1.
(I)解不等式
|f(x)|+|f(
x
2
)-3|>4
;
(II)若x≠0,求证:
|f(
x
2
)-f(
y
2
)|
2|x|
≥|x|-|y|
.
答案
(I)原不等式可化为|2x+1|+|x-2|>4
当x≤-
1
2
时,不等式化为-2x-1+2-x>4,
∴x<-1,此时x<-1;
当-
1
2
<x<2时,不等式化为2x+1+2-x>4,
∴x>1,此时1<x<2;
当x≥2时,不等式化为2x+1+x-2>4,
∴x>
5
3
,此时x≥2.
综上可得:原不等式的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞).
(II)
|f(
x
2
-
y
2
)|
2|x|
=
|
x
2
-
y
2
|
|x|
=
||
x|
2
-|
y|
2
|
|x|
=
||x|+|y||
|x|
•||x|-|y||=|1+
|y|
|x|
|•
||x|-|y||,
∵|1+
|y|
|x|
|≥1,当y=0时取等号,
∴|1+
|y|
|x|
|•
||x|-|y||≥||x|-|y||≥|x|-|y|
因此
|f(
x
2
-
y
2
)|
2|x|
≥|x|-|y|.
举一反三
选做题(考生只能从中选做一题)
(1)(不等式选讲选做题)不等式2|x|+|x-1|<2的解集是______.
(2)(坐标系与参数方程选讲选做题)在直角坐标系中圆C的参数方程为
x=2cosθ
y=2+2sinθ
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x
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|<1
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