已知函数f(x)=2x,x∈R.(1)若存在x∈[-1,1],使得f(x)+af(x)>2成立,求实数a的取值范围;(2)解关于x的不等式f(2x)+(a-1)

已知函数f(x)=2x,x∈R.(1)若存在x∈[-1,1],使得f(x)+af(x)>2成立,求实数a的取值范围;(2)解关于x的不等式f(2x)+(a-1)

题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=2x,x∈R.
(1)若存在x∈[-1,1],使得f(x)+
a
f(x)
>2
成立,求实数a的取值范围;
(2)解关于x的不等式f(2x)+(a-1)f(x)>a;
(3)若f(x1)+f(x2)=f(x1)f(x2),f(x1)+f(x2)+f(x3)=f(x1)f(x2)f(x3),求x3的最大值.
答案
(1)∵存在 x∈[-1,1],令t=2x∈[
1
2
,2]
,即t+
a
t
>2
成立. (1分)
∴a>-t2+2t.由于函数y=-t2+2t的最小值为0,此时,t=2,(4分)
∴a>0,即实数a的取值范围为(0,+∞).(5分)
(2)不等式f(2x)+(a-1)f(x)>a,即 22x+(a-1)x>a.
令t=2x∈(0,+∞),不等式即(t-1)(t+a)>0.(6分)
①当-a=1,即a=-1,可得t>0且t≠1,∴x≠0.(7分)
②当-a>1,即a<-1,可得t>-a,或0<t<1,∴x>log2(-a),或x<0.(8分)
③当-a<1,即 a>-1,可得t<-a,或t>1.
若-a≤0,即a≥0,由不等式可得t>1,∴x>0.(9分)
若0<-a<1,即-1<a<0,由不等式可得0<t<-a,或t>1,
∴x<log2(-a),或x>0.(10分)
综上,当a=-1时,不等式的解集为{x|x≠0};
当a<-1时,不等式的解集为{x|x>log2(-a),或x<0  };
当 a≥0时,不等式的解集为{x|x>0};
当-1<a<0时,不等式的解集为{x|x<log2(-a),或x>0}.(11分)
(3)令a=2x1,b=2x2,c=2x3,则a+b=ab,a+b+c=abc,(a,b,c>0).
ab=a+b≥2


ab
⇒ab≥4
.(13分)
c=
a+b
ab-1
=
ab
ab-1
=1+
1
ab-1
≤1+
1
3
=
4
3
(15分)
2x3
4
3
,故x3的最大值为log2
4
3
.(16分)
举一反三
不等式|
x
1+x
|>
x
1+x
的解集是(  )
A.{x|x≠-1}B.{x|x>-1}C.{x|x<0且x≠-1}D.{x|-1<x<0}
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若a+1>0,则不等式x≥
x2-2x-a
x-1
的解集为______.
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解不等式组





x-2
x-1
<1
-x2+x+2<0
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不等式
x2-4
x-1
<0
的解集为______.
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解关于x的不等式:
a(x-1)
x-2
>1
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