(1)∵存在 x∈[-1,1],令t=2x∈[,2],即t+>2成立. (1分) ∴a>-t2+2t.由于函数y=-t2+2t的最小值为0,此时,t=2,(4分) ∴a>0,即实数a的取值范围为(0,+∞).(5分) (2)不等式f(2x)+(a-1)f(x)>a,即 22x+(a-1)x>a. 令t=2x∈(0,+∞),不等式即(t-1)(t+a)>0.(6分) ①当-a=1,即a=-1,可得t>0且t≠1,∴x≠0.(7分) ②当-a>1,即a<-1,可得t>-a,或0<t<1,∴x>log2(-a),或x<0.(8分) ③当-a<1,即 a>-1,可得t<-a,或t>1. 若-a≤0,即a≥0,由不等式可得t>1,∴x>0.(9分) 若0<-a<1,即-1<a<0,由不等式可得0<t<-a,或t>1, ∴x<log2(-a),或x>0.(10分) 综上,当a=-1时,不等式的解集为{x|x≠0}; 当a<-1时,不等式的解集为{x|x>log2(-a),或x<0 }; 当 a≥0时,不等式的解集为{x|x>0}; 当-1<a<0时,不等式的解集为{x|x<log2(-a),或x>0}.(11分) (3)令a=2x1,b=2x2,c=2x3,则a+b=ab,a+b+c=abc,(a,b,c>0). 由ab=a+b≥2⇒ab≥4.(13分) c===1+≤1+=(15分) ∴2x3≤,故x3的最大值为log2.(16分) |