解:(1)作出不等式组表示的可行域如图:
作直线l:2x-y=0,并平行移动使它过可行域内的B点,此时z有最大值;过可行域内的C点,此时z有最小值, 解,得A(1,). 解,得B(5,3). 解,得C(1,). ∴zmax=2×5-3=7,zmin=2×1-=-. (2)一般情况下,当z取得最大值时,直线所经过的点都是唯一的,但若直线平行于边界直线,即直线z=ax+y平行于直线3x+5y=30时,线段BC上的任意一点均使z取得最大值,此时满足条件的点即最优解,有无数个. 又kBC=-,∴-a=-,∴a=. (3)z=x2+y2,则为(x,y)与原点(0,0)的距离,结合不等式的区域,易知A点到原点距离最小为,最大值为|OB|、|OC|、原点O到直线3x+5y=30距离三者之一,计算得,最大值为|OB|=.故z=x2+y2的取值范围是[,34]. |