已知函数f(x)＝ln x＋2x－6.(1)证明：函数f(x)有且只有一个零点；(2)求该零点所在的一个区间，使这个区间的长度不超过

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已知函数f(x)＝ln x＋2x－6.
(1)证明：函数f(x)有且只有一个零点；
(2)求该零点所在的一个区间，使这个区间的长度不超过

答案

（1）见解析（2）

解析

(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)是增函数．
∵f(2)＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3>0，
∴f(2)·f(3)<0.
∴f(x)在(2,3)上至少有一个零点．
又因f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
从而f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点．
(2)由(1)知f(2)<0，f(3)>0.
∴f(x)的零点x₀∈(2,3)．
取x₁＝，∵f＝ln －1＝ln－ln e<0，∴f·f(3)<0，∴x₀∈.
取x₂＝，∵f＝ln －＝ln －ln e >0，∴f·f<0.
∴x₀∈且＝≤，∴即为符合条件的区间．