试题分析:本题主要考查导数的运算,利用导数研究函数的单调性、最值、不等式等基础知识,考查函数思想、分类讨论思想,考查综合分析和解决问题的能力.第一问,讨论的正负来求单调性,利用导数大于0或小于0,通过解不等式来求函数的单调性;第二问,讨论方程的根与已知区间的关系,先判断函数的单调性,再求最值,列出方程解出的值;第三问,证明“”两边的两个函数的最值,来证明大小关系. 试题解析:(1) 1分 当时,恒成立,故的单调增区间为 3分 当时,令解得,令解得,故的单调增区间为,的单调减区间为 5分 (2)由(I)知, ①当,即时,在上单调递增,∴舍; 7分 ②当,即时,在上递增,在上递减, ,令,得 9分 (Ⅲ)即要证明, 10分 由(Ⅰ)知当时,,∴, 11分 又令,, 12分 故在上单调递增,在上单调递减, 13分 故 14分 即证明. |