已知函数,,且在点(1,)处的切线方程为。(1)求的解析式;(2)求函数的单调递增区间;(3)设函数,若方程有且仅有四个解,求实数a的取值范围。
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已知函数,,且在点(1,)处的切线方程为。(1)求的解析式;(2)求函数的单调递增区间;(3)设函数,若方程有且仅有四个解,求实数a的取值范围。
题型:不详
难度:
来源:
已知函数
,
,且
在点(1,
)处的切线方程为
。
(1)求
的解析式;
(2)求函数
的单调递增区间;
(3)设函数
,若方程
有且仅有四个解,求实数a的取值范围。
答案
(1)
;(2)当
,则
,无解,即
无单调增区间,当
,则
,即
的单调递增区间为
,当
,则
,即
的单调递增区间为
;(3)
解析
试题分析:(1) 利用导数的几何意义:曲线在某点处的导数值等于该点处曲线切线的斜率,联立方程组求解; (2)求导,利用倒数分析单调性,注意一元二次不等式根的情形;(3)通过导数对函数单调性分析,结合图像分析零点的问题
试题解析:(1)
,由条件,得
,即
,
4分
(2)由
,其定义域为
,
,
令
,得
(*) 6分
①若
,则
,即
的单调递增区间为
; 7分
②若
,(*)式等价于
,
当
,则
,无解,即
无单调增区间,
当
,则
,即
的单调递增区间为
,
当
,则
,即
的单调递增区间为
10分
(3)
当
时,
,
,
令
,得
,且当
,
在
上有极小值,即最小值为
11分
当
时,
,
,
令
,得
,
①若
,方程
不可能有四个解; 12分
②若
时,当
,当
,
在
上有极小值,即最小值为
,
又
,
的图象如图1所示,
从图象可以看出方程
不可能有四个解 14分
③若
时,当
,当
,
在
上有极大值,即最大值为
,
又
,
的图象如图2所示,
从图象可以看出方程
若有四个解,
必须
,
综上所述,满足条件的实数
的取值范围是
16分
举一反三
设
是定义在R上的奇函数,且
,当
时,有
恒成立,则不等式
的解集是( )
A.(-2,0) ∪(2,+∞)
B.(-2,0) ∪(0,2)
C.(-∞,-2)∪(2,+∞)
D.(-∞,-2)∪(0,2)
题型:不详
难度:
|
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已知函数
和
在
的图象如下所示:
给出下列四个命题:
①方程
有且仅有6个根 ②方程
有且仅有3个根
③方程
有且仅有5个根 ④方程
有且仅有4个根
其中正确的命题是
.(将所有正确的命题序号填在横线上).
题型:不详
难度:
|
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设函数
在
处取得极值,且曲线
在点
处的切线垂直于直线
.
(1)求
的值;
(2)若函数
,讨论
的单调性.
题型:不详
难度:
|
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等比数列
中,
,
,函数
,则
在
处的切线方程为
.
题型:不详
难度:
|
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已知定义在
上的函数
,则曲线
在点
处的切线方程是( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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