试题分析:(Ⅰ)求曲线在一点处的切线方程,一要抓切点(1,2),一要抓导数的几何意义即切线的斜率,便求出切线方程;(Ⅱ)先利用极值求出系数,再利用及定义域,求出单调递增区间为;(Ⅲ)利用导数求某区间上的最值,要综合应用极值、单调性进行判定求解,特别对的形式、的根进行分类讨论.多见于单调函数、单峰(谷)函数. 试题解析:(Ⅰ)函数的定义域为, 因为,所以 当时,,,所以, 所以曲线在点处的切线方程为,即. 3分 (Ⅱ)因为在处有极值,所以, 由(Ⅰ)知,所以 经检验,时在处有极值. 4分 所以,令,解得或; 因为的定义域为,所以的解集为, 即的单调递增区间为. 6分 (Ⅲ)假设存在实数,使在区间上有最小值3,由, ① 当时, ,在上单调递减, ,解得,舍去. 8分 ②当即时,在上单调递减,在上单调递增, ,解得,满足条件. 10分 ③ 当即时,, 所以在上单调递减,,解得,舍去. 综上,存在实数,使在区间上的最小值是3. 12分 |