已知函数,.(Ⅰ)若函数在处取得极值,试求的值,并求在点处的切线方程;(Ⅱ)设,若函数在上存在单调递增区间,求的取值范围.

已知函数,.(Ⅰ)若函数在处取得极值,试求的值,并求在点处的切线方程;(Ⅱ)设,若函数在上存在单调递增区间,求的取值范围.

题型:不详难度:来源:
已知函数
(Ⅰ)若函数处取得极值,试求的值,并求在点处的切线方程;
(Ⅱ)设,若函数上存在单调递增区间,求的取值范围.
答案
(1);(2).
解析
本试题主要考查了导数在研究函数的中的运用。(1)中利用=,因为函数处取得极值,所以,解得,并由此得到,所以函数在点处的切线的斜率
在点处的切线方程为(2)问中,因为函数上存在单调递增区间,是开口向下的抛物线,要使上存在子区间使,即可,解得。
解:(Ⅰ)=.
因为函数处取得极值,所以,解得.
于是函数,.
函数在点处的切线的斜率
在点处的切线方程为.      …………………………6分
(Ⅱ)当时,是开口向下的抛物线,要使上存在子区间使,应满足
解得,或,所以的取值范围是.……13分
举一反三
有一把梯子贴靠在笔直的墙上,已知梯子上端下滑的距离(单位:m)关于时间(单位:s)的函数为,求当时,梯子上端下滑的速度为( )
A.B.C.D.

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已知函数,曲线过点处的切线与直线和直线 所围三角形的面积为_________。
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过曲线上一点(1,3)的切线方程是                      .
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已知函数.
(1)若曲线处的切线的方程为,求实数a的值;
(2)求证:≥0恒成立的充要条件是
(3)若,且对任意,都有,求实数的取值范围.
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已知函数在点处的切线的斜率是                    
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