解: (I)f′(x)=3ax2+2bx-3,依题意,f′(1)=f′(-1)=0, 即 解得a=1,b=0. ∴f(x)=x3-3x. (II)∵f(x)=x3-3x,∴f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1), 当-1<x<1时,f′(x)<0,故f(x)在区间[-1,1]上为减函数, fmax(x)=f(-1)=2,fmin(x)=f(1)=-2 ∵对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值x1,x2, 都有|f(x1)-f(x2)|≤|fmax(x) -fmin(x)| |f(x1)-f(x2)|≤|fmax(x)-fmin(x)|=2-(-2)=4 (III)f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1), ∵曲线方程为y=x3-3x,∴点A(1,m)不在曲线上. 设切点为M(x0,y0),则点M的坐标满足 因,故切线的斜率为 , 整理得. ∵过点A(1,m)可作曲线的三条切线, ∴关于x0方程=0有三个实根. 设g(x0)= ,则g′(x0)=6, 由g′(x0)=0,得x0=0或x0=1. ∴g(x0)在(-∞,0),(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减. ∴函数g(x0)= 的极值点为x0=0,x0=1 ∴关于x0方程=0有三个实根的充要条件是 ,解得-3<m<-2. 故所求的实数a的取值范围是-3<m<-2. |