试题分析:本题主要考查导数的运算、利用导数求函数的极值和最值等基础知识,考查学生的转化能力、分析问题解决问题的能力、计算能力.第一问,先对求导,由于在x=1处有极值,则,,列出方程组,解出b和c的值,由于得到了两组值,则需要验证看是否符合已知条件,若不符合需舍掉;第二问,可以利用二次函数图象和性质直接证明,也可以利用反证法证明出矛盾,从而得到正确结论;第三问,结合第二问的结论,可以直接得到时的情况,当时需分,,三种情况讨论,最后综合所有情况再得出结论. 试题解析:(1) ∵,由在处有极值,可得 ,解得,或 2分 若,,则,此时函数没有极值; 3分 若,,则,此时当变化时,,的变化情况如下表: ∴ 当时,有极大值,故,即为所求。 4分 (2)证法一: 当时,函数的对称轴位于区间之外 ∴ 在区间上的最值在两端点处取得,故应是和中较大的一个 ∴ ,即 8分 证法二(反证法):因为,所以函数的对称轴位于区间之外, ∴ 在区间上的最值在两端点处取得,故应是和中较大的一个, 假设,则,将上述两式相加得: 6分 ,得,产生矛盾, ∴ 8分 (3) (ⅰ)当时,由(2)可知; 9分 (ⅱ)当时,函数的对称轴位于区间之内, 此时,由,有 ①若,则,则, 于是 11分 ②若,则,则 于是 13分 综上可知,对任意的、都有 而当,时,在区间上的最大值 ,故对任意的、恒成立的的最大值为。 14分 |