解:(1)∵函数f(x)=(m,n∈R)在x=1处取得极大值2. ∴, 又由f′(x)==, 由题意得 ,解得m=4,n=1, 经检验,当m=4,n=1时,函数f(x)在x=1处取得极小值2 ∴函数f(x)的解析式为f(x)=; (2)∵函数f(x)的定义域为R且由(1)有f′(x)= 令f′(x)=0,解得:x=±1 ∴当x变化时,f(x),f′(x)的变化情况如下表:
x
| (-∞,-1)
| -1
| (-1,1)
| 1
| (1,+∞)
| f′(x)
| -
| 0
| +
| 0
| -
| f(x)
| 减
| 极小值-2
| 增
| 极大值2
| 减
| ∴当x=-1时,函数f(x)有极小值-2;当x=1时,函数f(x)有极大值2; (3)由(2)知函数f(x)的大致图象如图所示:
则f(x)在x=-1处取得极小值f(-1)=-2, 在x=1处取得极大值f(1)=2 又∵x>0时,f(x)>0, ∴f(x)的最小值为-2,∴ ∵若对于任意x2∈[-1,1],总存在x1∈R,使得g(x2)≤f(x1) ∴当x∈[-1,1]时, 当a≤-1时,,得a=-1, 当a≥1时,,得无解. 当-1 <a< 1时,,得-1 <a< 1. 综上所述.a的取值范围为. |