试题分析:(1)先求函数的导数,因为在区间不单调,所以导函数的值不恒大于或小于0,即函数的最大值大于0,函数的最小值小于0,即不单调; (2)根据条件化简得,,,求出, 的最小值即可确定的范围,首先对函数求导,确定单调性,求出最值; (3)先假设曲线上存在两点满足题意,设出,则,从而由是以O(O为坐标原点)为直角顶点的直角三角形可建立关系式,分情况求解即可. 试题解析:(1)由 得 因在区间[1,2]上不是单调函数 所以在[1,2]上最大值大于0,最小值小于0
∴ 4分 (2)由,得. ,且等号不能同时取,,即 恒成立,即 6分 令,求导得,, 当时,,从而, 在上为增函数,, . 8分 (3)由条件,, 假设曲线上存在两点,满足题意,则,只能在轴两侧, 9分 不妨设,则,且. 是以为直角顶点的直角三角形,, (*), 是否存在,等价于方程在且时是否有解. ①若时,方程为,化简得,此方程无解; 12分 ②若时,方程为,即, 设,则, 显然,当时,,即在上为增函数, 的值域为,即,当时,方程(*)总有解. 对任意给定的正实数,曲线 上总存在两点,,使得是以(为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在轴上. 14分 |