已知函数,其中,是自然对数的底数.(1)求函数的零点;(2)若对任意均有两个极值点,一个在区间(1,4)内,另一个在区间[1,4]外,求a的取值范围;(3)已知

已知函数,其中,是自然对数的底数.(1)求函数的零点;(2)若对任意均有两个极值点,一个在区间(1,4)内,另一个在区间[1,4]外,求a的取值范围;(3)已知

题型:不详难度:来源:
已知函数,其中是自然对数的底数.
(1)求函数的零点;
(2)若对任意均有两个极值点,一个在区间(1,4)内,另一个在区间[1,4]外,求a的取值范围;
(3)已知,且函数在R上是单调函数,探究函数的单调性.
答案
(1)(2)(3)函数在R上是减函数
解析

试题分析:(1)
的零点问题转化为方程的根的问题.
(2)因为,由题设可知有两个两点,其中一个在,一个在,解这个不等式,可得实数的取值范围.
(3)
由函数在R上是单调函数,所以,得到的关系,然后由此关系推出.
试题解析:
解:(1)
g(x)="0," 有ex-1=0,即x=0;或 x2-2xa=0;,
①当时,函数有1个零点 ;  1分
②当时,函数有2个零点;2分
③当时,函数有两个零点;3分
④当时,函数有三个零点:
   4分
(2),5分
的图像是开口向下的抛物线,
由题意对任意有两个不等实数根
则对任意,
,有,7分
又任意关于递增, ,
,所以.
所以的取值范围是  9分
(3)由(2)知, 存在,又函数在R上是单调函数,故函数在R上是单调减函数, 10分
来说
 11分  
所以对于函数来说
 12分
即对任意
故函数在R上是减函数.   13分
举一反三
已知关于x的函数
(1)当时,求函数的极值;
(2)若函数没有零点,求实数a取值范围.
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是定义在上的两个可导函数,若,满足,则满足
A.B.为常数函数
C.D.为常数函数

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设函数的导数的最大值为3,则的图象的一条对称轴的方程是
A.B.C.D.

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设曲线在点(1,1)处的切线与轴的交点的横坐标为,则的值为
A.B.C.D.1

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已知函数,在定义域上表示的曲线过原点,且在处的切线斜率均为.有以下命题:
是奇函数;②若内递减,则的最大值为4;③的最大值为,最小值为,则; ④若对恒成立,则的最大值为2.其中正确命题的序号为  
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