试题分析:(1)先求出函数 的定义域与导数,求出极值点后,利用图表法确定函数 的单调性,从而确定函数 的极大值与极小值;(2)结合(1)中的结论可知,函数 在区间 上单调递增,根据定义得到 , ,问题转化为求方程 在区间 上的实数根,若方程的根的个数小于 ,则不存在“域同区间”;若上述方程的根的个数不少于 ,则存在“域同区间”,并要求求出相应的根,从而确定相应的“域同区间”. 试题解析:(1) ,定义域为 , 且 , 令 ,解得 或 ,列表如下: 故函数 在 处取得极大值,即 , 函数 在 处取得极小值,即 ; (2)由(1)知,函数 在区间 上单调递增, 假设函数 在区间 上存在“域同区间” ,则有 , , 则方程 在区间 上至少有两个不同的实数根, 构造新函数 ,定义域为 ,
,令 ,解得 , , 当 时, ;当 时, , 故函数 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增, 因为 , , ,故函数 在区间 上存在唯一零点, 即方程 在区间 上只存在唯一实数根, 故函数 在区间 上不存在“域同区间”. |