试题分析:(1)切点的导函数值,等于过这点的切线的斜率,由直线方程的点斜式即得所求. (2)由题意:,转化成,只需确定的最大值. 设,利用导数研究其最大值. (3)极值点处的导函数值为零. 问题可转化成研究在内零点的个数. 注意到, ,因此,讨论,时,在内零点的个数,使问题得解. 本题主要考查导数的应用,方法比较明确,分类讨论、转化与化归思想的应用,是解决问题的关键. 试题解析:(1) 由题意知,所以 又, 所以曲线在点的切线方程为 4分 (2)由题意:,即 设,则 当时,;当时, 所以当时,取得最大值 故实数的取值范围为. 9分 (3) ,, ①当时, ∵ ∴存在使得 因为开口向上,所以在内,在内 即在内是增函数, 在内是减函数 故时,在内有且只有一个极值点, 且是极大值点. 11分 ②当时,因 又因为开口向上 所以在内则在内为减函数,故没有极值点 13分 综上可知:当,在内的极值点的个数为1;当时, 在 内的极值点的个数为0. 14分 |