已知函数在与时,都取得极值.(1)求的值;(2)若,求的单调区间和极值;(3)若对都有恒成立,求的取值范围.

已知函数在与时,都取得极值.(1)求的值;(2)若,求的单调区间和极值;(3)若对都有恒成立,求的取值范围.

题型:不详难度:来源:
已知函数时,都取得极值.
(1)求的值;
(2)若,求的单调区间和极值;
(3)若对都有恒成立,求的取值范围.
答案
(1);(2)f (x)的递增区间为(-∞,-),及(1,+∞),递减区间为(-,1),当x=-时,f (x)有极大值,f (-)=;当x=1时,f (x)有极小值,f (1)=-;(3)
解析

试题分析:(1)函数的极值点是使导数等于0的的值,因此本题中一定有,由此可解出的值;(2)再由可求出,而求单调区间,很显然是解不等式(得增区间)或(得减区间),然后可得相应的极大值和极小值;(3)不等式恒成立,实际上就是当的最大值小于,因此问题转化为先求上的最大值,然后再解不等式即可.
试题解析:(1)f ′(x)=3x2+2a x+b=0.
由题设,x=1,x=-为f ′(x)=0的解.
a=1-=1×(-).∴a=-,b=-2       3分
经检验得:这时都是极值点.      …4分
(2)f (x)=x3x2-2 x+c,由f (-1)=-1-+2+c=,c=1.
∴f (x)=x3x2-2 x+1.

∴f(x)的递增区间为(-∞,-),及(1,+∞),递减区间为(-,1).
当x=-时,f (x)有极大值,f (-)=
当x=1时,f (x)有极小值,f (1)=-        …8分
(3)由(1)得,f′(x)=(x-1)(3x+2),f (x)=x3x2-2 x+c,
f (x)在[-1,-及(1,2]上递增,在(-,1)递减.
而f (-)=-+c=c+.f (2)=8-2-4+c=c+2.
∴  f (x)在[-1,2]上的最大值为c+2.∴ ,∴ 
 或∴    12分
举一反三
已知函数,则  
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已知函数的图像如图所示,且.则的值是     

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已知可导函数的导函数满足,则不等式的解集是   
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已知函数 (为实常数) .
(1)当时,求函数上的最大值及相应的值;
(2)当时,讨论方程根的个数.
(3)若,且对任意的,都有,求实数a的取值范围.
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已知函数
(Ⅰ)当时,求曲线处的切线方程;
(Ⅱ)设函数,求函数的单调区间;
(Ⅲ)若在上存在一点,使得成立,求的取值范围.
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