已知函数. (Ⅰ)当时,求曲线在处的切线方程;(Ⅱ)设函数,求函数的单调区间;(Ⅲ)若在上存在一点,使得<成立,求的取值范围.
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已知函数. (Ⅰ)当时,求曲线在处的切线方程;(Ⅱ)设函数,求函数的单调区间;(Ⅲ)若在上存在一点,使得<成立,求的取值范围.
题型:不详
难度:
来源:
已知函数
.
(Ⅰ)当
时,求曲线
在
处的切线方程;
(Ⅱ)设函数
,求函数
的单调区间;
(Ⅲ)若在
上存在一点
,使得
<
成立,求
的取值范围.
答案
(Ⅰ)曲线
在点
处的切线方程为
;(Ⅱ)当
时,
所以
在
上单调递减,在
上单调递增;②当
时,函数
在
上单调递增.(Ⅲ)所求
的范围是:
或
.
解析
试题分析:(Ⅰ)当
时,求曲线
在
处的切线方程,由导数的几何意义可得,对函数
求导得
,令
,求出
,得切线斜率,由点斜式可写出曲线
在
处的切线方程;(Ⅱ)设函数
,求函数
的单调区间,求函数
的单调区间,首先确定定义域
,可通过单调性的定义,或求导确定单调区间,由于
,含有对数函数,可通过求导来确定单调区间,对函数
求导得
,由此需对参数
讨论,有范围判断导数的符号,从而得单调性;(Ⅲ)若在
上存在一点
,使得
<
成立,既不等式
<
有解,即在
上存在一点
,使得
,即函数
在
上的最小值小于零,结合(Ⅱ),分别讨论它的最小值情况,从而可求出
的取值范围.
试题解析:(Ⅰ)
的定义域为
,
当
时,
,
,
,
,切点
,斜率
∴曲线
在点
处的切线方程为
(Ⅱ)
,
①当
时,即
时,在
上
,在
上
,
所以
在
上单调递减,在
上单调递增;
②当
,即
时,在
上
,所以,函数
在
上单调递增.
(Ⅲ)在
上存在一点
,使得
成立,即在
上存在一点
,使得
,即函数
在
上的最小值小于零.
由(Ⅱ)可知:①当
,即
时,
在
上单调递减,
所以
的最小值为
,由
可得
,
因为
,所以
;
②当
,即
时,
在
上单调递增,
所以
最小值为
,由
可得
;
③当
,即
时,可得
最小值为
,
因为
,所以,
故
此时不存在
使
成立.
综上可得所求
的范围是:
或
.
举一反三
已知函数
(Ⅰ)当
时,求函数
的极大值和极小值;
(Ⅱ)当
时,
恒成立,求
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知函数
.
(I)当
时,求
的单调区间
(Ⅱ)若不等式
有解,求实数m的取值菹围;
(Ⅲ)定义:对于函数
和
在其公共定义域内的任意实数
,称
的值为两函数在
处的差值。证明:当
时,函数
和
在其公共定义域内的所有差值都大干2。
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知函数
.
(I)若
,求函数
的单调区间;
(Ⅱ)求证:
(Ⅲ)若函数
的图象在点
处的切线的倾斜角为
,对于任意的
,函数
是
的导函数)在区间
上总不是单调函数,求
的取值范围。
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知函数
,
.
(1)若
,求证:当
时,
;
(2)若
在区间
上单调递增,试求
的取值范围;
(3)求证:
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知函数
.
(1)若曲线
在
和
处的切线相互平行,求
的值;
(2)试讨论
的单调性;
(3)设
,对任意的
,均存在
,使得
.试求实数
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
查看答案
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