试题分析:(1)先求出函数 的导数,利用条件“曲线 在 和 处的切线相互平行”得到 ,从而在方程中求出 的值;(2)对参数 的符号进行分类讨论,以确定方程 的根是否在定义域内,并对 时,就导数方程的根 与 的大小进行三种情况的分类讨论,从而确定函数的单调区间;(3)将问题中的不等式等价转化为 ,充分利用(2)的结论确定函数 在区间 上的最大值,从而求出参数 的取值范围. 试题解析:函数 定义域为 , (1)∵函数![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018040042-59018.png)
依题意, ,即 ,解得 ; (2) , ①当 时, , , 在区间 上, ;在区间 上, , 故函数 的单调递增区间为 ,单调递减区间为 ; ②当 时, , 在区间 和 上, ;在区间 上, , 故函数 的单调递增区间为 和 ,单调递减区间为 ; ③当 时, ,故 的单调递增区间为 ; ④当 时, , 在区间 和 上, ;在区间 上, , 故函数 的单调递增区间为 和 ,单调递减区间为 ; (3)由已知,在(0,2]上有f(x)max<g(x)max. 由已知,g(x)max=0,由(2)可知, ①当a≤ 时,f(x)在(0,2]上单调递增, 故f(x)max=f(2)=2a-2(2a+1)+2ln2 =-2a-2+2ln2, ∴-2a-2+2ln2<0,解得a>ln2-1,ln2-1<0,故ln2-1<a≤ . ②当a> 时,f(x)在 ]上单调递增,在]上单调递减, 故f(x)max=f =-2- -2lna. 由a> 可知lna>ln >ln =-1,2lna>-2,-2lna<2, ∴-2-2lna<0,即f(x)max<0,符合题意。 综上所述,a>ln2-1. |