设函数.(1)研究函数的极值点;(2)当时,若对任意的,恒有,求的取值范围;(3)证明:.
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设函数.(1)研究函数的极值点;(2)当时,若对任意的,恒有,求的取值范围;(3)证明:.
题型:不详
难度:
来源:
设函数
.
(1)研究函数
的极值点;
(2)当
时,若对任意的
,恒有
,求
的取值范围;
(3)证明:
.
答案
(1)详见解析;(2)实数
的取值范围是
;(3)详见解析.
解析
试题分析:(1)先求出函数
的导数
,对
的符号进行分类讨论,即对函数
是否存在极值点进行分类讨论,结合函数的单调性或导数符号确定函数的极大值或极小值;(2)利用(1)中的结论,将问题转化为
,结合(1)中的结论列不等式解参数
的取值范围;(3)在(2)中,令
,得到不等式
在
上恒成立,然后令
得到
,两边同除以
得到
,结合放缩法得到
,最后;利用累加法即可得到所证明的不等式.
试题解析:(1)
,
当
上无极值点
当p>0时,令
的变化情况如下表:
x
(0,
)
+
0
-
↗
极大值
↘
从上表可以看出:当p>0 时,
有唯一的极大值点
(2)当
时在
处取得极大值
,
此极大值也是最大值,要使
恒成立,只需
,
∴
,即p的取值范围为[1,+∞
;
(3)令
,由(2)知,
∴
,∴
,
∴
,∴结论成立
另解:设函数
,则
,令
,解得
,则
,
∴
=
=
(
举一反三
设函数y=f(x)在(-
,
)内有定义,对于给定的正数k,定义函数:
,取函数
,若对任意的x∈(-
,
),恒有f
k
(x)=f(x),则( )
A.k的最大值为2
B.k的最小值为2
C.k的最大值为1
D.k的最小值为1
题型:不详
难度:
|
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如图,某自来水公司要在公路两侧排水管,公路为东西方向,在路北侧沿直线
排水管,在路南侧沿直线
排水管(假设水管与公路的南,北侧在一条直线上且水管的大小看作为一条直线),现要在矩形区域ABCD内沿直线EF将
与
接通.已知AB = 60m,BC = 60
m,公路两侧排管费用为每米1万元,穿过公路的EF部分的排管费用为每米2万元,设EF与AB所成角为
.矩形区域内的排管费用为W.
(1)求W关于
的函数关系式;
(2)求W的最小值及相应的角
.
题型:不详
难度:
|
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若
,且函数
在
,
上存在反函数,则( )
A.
B.
∪
C.
D.
题型:不详
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|
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已知函数
的反函数为
,设
的图象上在点
处的切线在y轴上的截距为
,数列{
}满足:
(Ⅰ)求数列{
}的通项公式;
(Ⅱ)在数列
中,仅
最小,求
的取值范围;
(Ⅲ)令函数
数列
满足
,求证:对一切n≥2的正整数都有
题型:不详
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|
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已知函数
的图象与直线
相切于点
.
(1)求实数
和
的值; (2)求
的极值.
题型:不详
难度:
|
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