已知函数 (为实常数) .(1)当时,求函数在上的最大值及相应的值;(2)当时,讨论方程根的个数.(3)若,且对任意的,都有,求实数a的取值范围.
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已知函数 (为实常数) .(1)当时,求函数在上的最大值及相应的值;(2)当时,讨论方程根的个数.(3)若,且对任意的,都有,求实数a的取值范围.
题型:不详
难度:
来源:
已知函数
(
为实常数) .
(1)当
时,求函数
在
上的最大值及相应的
值;
(2)当
时,讨论方程
根的个数.
(3)若
,且对任意的
,都有
,求实数a的取值范围.
答案
(1)
.
;(2)
时,方程
有2个相异的根.
或
时,方程
有1个根.
时,方程
有0个根.(3)
.
解析
试题分析:(1)通过求导数可得函数的单调性,在对比区间的两端点的函数值即可求得函数的最大值.(2)由于参数
的变化.可以采取分离变量的方法,转化为两个函数的交点个数问题.其中一个是垂直于y轴的直线,另一个是通过求出函数的走向.根据图像即可得到结论.(3)将要说明的结论通过变形得到一个等价问题从而证明新的函数的单调性,使得问题巧妙地转化.本题只是容量大.通过研究函数的单调性,含参函数的讨论.与不等式的相结合转化为函数的单调性的证明.
试题解析:(1)
,当
时,
.当
时,
,又
,
故
,当
时,取等号 4分
(2)易知
,故
,方程
根的个数等价于
时,方程
根的个数. 设
=
,
当
时,
,函数
递减,当
时,
,函数
递增.又
,
,作出
与直线
的图像,由图像知:
当
时,即
时,方程
有2个相异的根;
当
或
时,方程
有1个根;
当
时,方程
有0个根; 10分
(3)当
时,
在
时是增函数,又函数
是减函数,不妨设
,则
等价于
即
,故原题等价于函数
在
时是减函数,
恒成立,即
在
时恒成立.
在
时是减函数
16分
(其他解法酌情给分)
举一反三
已知函数
.
(Ⅰ)当
时,求曲线
在
处的切线方程;
(Ⅱ)设函数
,求函数
的单调区间;
(Ⅲ)若在
上存在一点
,使得
<
成立,求
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知函数
(Ⅰ)当
时,求函数
的极大值和极小值;
(Ⅱ)当
时,
恒成立,求
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知函数
.
(I)当
时,求
的单调区间
(Ⅱ)若不等式
有解,求实数m的取值菹围;
(Ⅲ)定义:对于函数
和
在其公共定义域内的任意实数
,称
的值为两函数在
处的差值。证明:当
时,函数
和
在其公共定义域内的所有差值都大干2。
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知函数
.
(I)若
,求函数
的单调区间;
(Ⅱ)求证:
(Ⅲ)若函数
的图象在点
处的切线的倾斜角为
,对于任意的
,函数
是
的导函数)在区间
上总不是单调函数,求
的取值范围。
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知函数
,
.
(1)若
,求证:当
时,
;
(2)若
在区间
上单调递增,试求
的取值范围;
(3)求证:
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
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