试题分析:(Ⅰ)先求出函数 的定义域为 ,再对函数求导得 .对 分 , , , 四种情况进行讨论,求得每种情况下使得 的 的取值范围,求得的 的取值集合即是函数的单调增区间;(Ⅱ)先根据两点坐标求出斜率满足的不等式,对 、 的取值进行分类讨论,然后将问题“过 , 两点的直线 的斜率恒大于 ”转化为“函数 在 恒为增函数”,即在 上, 恒成立问题,即是 在 恒成立问题,然后根据不等式恒成立问题并结合二次函数的图像与性质求解. 试题解析:(Ⅰ)依题意, 的定义域为 ,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018043139-97987.png) ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018043139-15780.png) . (ⅰ)若 , 当 时, , 为增函数. (ⅱ)若 ,
恒成立,故当 时, 为增函数. (ⅲ)若 , 当 时, , 为增函数; 当 时, , 为增函数. (ⅳ)若 , 当 时, , 为增函数; 当 时, , 为增函数. 综上所述, 当 时,函数 的单调递增区间是 ;当 时,函数 的单调递增区间是 , ;当 时,函数 的单调递增区间是 ;当 时,函数 的单调递增区间是 , . 6分 (Ⅱ)依题意,若过 两点的直线 的斜率恒大于 ,则有 , 当 时, ,即 ; 当 时, ,即 . 设函数 ,若对于两个不相等的正数 , 恒成立, 则函数 在 恒为增函数, 即在 上, 恒成立,等价于 在 恒成立,则有 ① 时,即 ,所以 ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018043137-74159.png) 或② 时,需 且 ,即 显然不成立. 综上所述, . 14分 |