试题分析:(Ⅰ)先求出函数的定义域为,再对函数求导得.对分, ,,四种情况进行讨论,求得每种情况下使得的的取值范围,求得的的取值集合即是函数的单调增区间;(Ⅱ)先根据两点坐标求出斜率满足的不等式,对、的取值进行分类讨论,然后将问题“过, 两点的直线的斜率恒大于”转化为“函数在恒为增函数”,即在上,恒成立问题,即是在恒成立问题,然后根据不等式恒成立问题并结合二次函数的图像与性质求解. 试题解析:(Ⅰ)依题意,的定义域为, . (ⅰ)若, 当时,,为增函数. (ⅱ)若, 恒成立,故当时,为增函数. (ⅲ)若, 当时,,为增函数; 当时,,为增函数. (ⅳ)若, 当时,,为增函数; 当时,,为增函数. 综上所述, 当时,函数的单调递增区间是;当时,函数的单调递增区间是,;当时,函数的单调递增区间是;当时,函数的单调递增区间是,. 6分 (Ⅱ)依题意,若过两点的直线的斜率恒大于,则有, 当时,,即; 当时,,即. 设函数,若对于两个不相等的正数,恒成立, 则函数在恒为增函数, 即在上,恒成立,等价于在恒成立,则有 ①时,即,所以 或②时,需且,即显然不成立. 综上所述,. 14分 |