已知函数,.(Ⅰ)求函数的单调递增区间;(Ⅱ)设,,,为函数的图象上任意不同两点,若过,两点的直线的斜率恒大于,求的取值范围.

已知函数,.(Ⅰ)求函数的单调递增区间;(Ⅱ)设,,,为函数的图象上任意不同两点,若过,两点的直线的斜率恒大于,求的取值范围.

题型:不详难度:来源:
已知函数.
(Ⅰ)求函数的单调递增区间;
(Ⅱ)设为函数的图象上任意不同两点,若过两点的直线的斜率恒大于,求的取值范围.
答案
(Ⅰ)见解析;(Ⅱ).
解析

试题分析:(Ⅰ)先求出函数的定义域为,再对函数求导得.对 ,四种情况进行讨论,求得每种情况下使得的取值范围,求得的的取值集合即是函数的单调增区间;(Ⅱ)先根据两点坐标求出斜率满足的不等式,对的取值进行分类讨论,然后将问题“过 两点的直线的斜率恒大于”转化为“函数恒为增函数”,即在上,恒成立问题,即是恒成立问题,然后根据不等式恒成立问题并结合二次函数的图像与性质求解.
试题解析:(Ⅰ)依题意,的定义域为
.
(ⅰ)若
时,为增函数.
(ⅱ)若
恒成立,故当时,为增函数.
(ⅲ)若
时,为增函数;
时,为增函数.
(ⅳ)若
时,为增函数;
时,为增函数.
综上所述,
时,函数的单调递增区间是;当时,函数的单调递增区间是;当时,函数的单调递增区间是;当时,函数的单调递增区间是.                            6分
(Ⅱ)依题意,若过两点的直线的斜率恒大于,则有
时,,即
时,,即.
设函数,若对于两个不相等的正数恒成立,
则函数恒为增函数,
即在上,恒成立,等价于恒成立,则有
时,即,所以
或②时,需,即显然不成立.
综上所述,.                                        14分
举一反三
已知函数
(Ⅰ)求函数的单调递增区间;
(Ⅱ)设点为函数的图象上任意一点,若曲线在点处的切线的斜率恒大于
的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
(1设
(1)当时,求f(x)的单调区间;
(2)求f(x)的零点个数
题型:不详难度:| 查看答案
设函数,对任意,恒有,其中M是常数,则M的最小值是              .
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数.
(1)试求函数的单调区间和极值;
(2)若 直线与曲线相交于不同两点,若 试证明.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数的图象在它们与坐标轴交点处的切线互相平行.
(1)求的值;
(2)若存在使不等式成立,求实数的取值范围;
(3)对于函数公共定义域内的任意实数,我们把的值称为两函数在处的偏差,求证:函数在其公共定义域内的所有偏差都大于2
题型:不详难度:| 查看答案
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