试题分析:(1)将代入函数的解析式,利用导数求出函数的最大值;(2)先求出函数的解析式,利用导数将问题转化为对任意恒成立的问题来处理,利用二次函数的最值的求法求的最大值,从而得到实数的取值范围;(3)将问题等价转化为函数在定义域上只有一个零点来处理,结合导数来研究函数的单调性,利用极值与最值的关系求出正数的值. 试题解析:(1)依题意,知的定义域为, 当时,, 2分 令,解得 因为有唯一解,所以,当时,,此时单调递增; 当时,,此时单调递减。 所以的极大值为,此即为最大值 4分 (2),则有在上恒成立, ∴≥, 当时,取得最大值,所以≥ 8分 (3)因为方程有唯一实数解,所以有唯一实数解, 设,则令, 因为所以(舍去),, 当时,,在上单调递减, 当时,,在上单调递增, 当时,,取最小值. 10分 则 即 所以因为所以 12分 设函数,因为当时,是增函数,所以至多有一解. ∵,∴方程(*)的解为,即,解得 14分 |