试题分析:(1)先利用导数求出函数 的解析式,并利用导数求出函数 的极值点,并将极值点限制在区间 内,得出有关 的不等式,求解出实数 的取值范围;(2)利用参数分离法将问题 在区间 上恒成立转化为不等式 在区间 上恒成立,构造新函数 ,从而将问题转化为 ,借助导数求函数 的最小值,从而得到实数 的取值范围;(3)取 ,由(2)中的结论 ,即 在 上恒成立,从而得到 在 上恒成立,,令 ,代入上述不等式得到 ,结合累加法即可证明不等式 . 试题解析:(1)由题意 , 1分 所以 2分 当 时, ;当 时, . 所以 在 上单调递增,在 上单调递减, 故 在 处取得极大值. 3分 因为函数 在区间 (其中 )上存在极值, 所以 ,得 .即实数 的取值范围是 . 4分 (2)由 得 ,令 , 则 . 6分 令 ,则 , 因为 所以 ,故 在 上单调递增. 7分 所以 ,从而![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018043532-73725.png)
在 上单调递增, ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018043532-53692.png) 所以实数 的取值范围是 . 9分 (3)由(2) 知 恒成立, 即 11分 令 则 , 12分 所以 , , , . 将以上 个式子相加得:![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018043534-94705.png)
, 故 . 14分 (解答题的其他解法可酌情给分) |