试题分析:(Ⅰ)利用到导数法求解;(Ⅱ)构造新函数,用导数法求解;(Ⅲ)利用导数的几何意义求切线方程,将 的坐标代入切线方程,求得 ,再利用两个函数的图像均关于点 对称,它们交点的横坐标也关于 对称成对出现.方程 , 的根即所作的所有切线的切点横坐标构成的数列 的项也关于 对称成对出现,在 内共构成1006对. 试题解析:(Ⅰ)由于 , 所以 . (2分) 当 ,即 时, ; 当 ,即 时, . 所以 的单调递增区间为![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018044617-27496.png) , 单调递减区间为![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018044612-38482.png) . (4分) (Ⅱ)令 ,要使 总成立,只需 时 . 对 求导得 , 令 ,则 ,( ) 所以 在 上为增函数,所以 . (6分) 对 分类讨论: ① 当 时, 恒成立,所以 在 上为增函数,所以 ,即 恒成立; ② 当 时, 在上有实根 ,因为 在 上为增函数, 所以当 时, ,所以 ,不符合题意; ③ 当 时, 恒成立,所以 在 上为减函数,则 ,不符合题意. 综合①②③可得,所求的实数 的取值范围是 . (9分) (Ⅲ)因为 ,所以 , 设切点坐标为 ,则斜率为 , 切线方程为 , (11分) 将 的坐标代入切线方程,得
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,即 , 令 , ,则这两个函数的图像均关于点 对称,它们交点的横坐标也关于 对称成对出现,方程 , 的根即所作的所有切线的切点横坐标构成的数列 的项也关于 对称成对出现,在 内共构成1006对,每对的和为 ,因此数列 的所有项的和 . (13分) |