试题分析:解:(Ⅰ)的定义域为,. ①当时,则,∴在上单调递增; ②当时,令,得;令,得, ∴在上单调递增;在上单调递减. (Ⅱ)由题意,时,恒成立. 设,则对时恒成立. 则 ①当时,,即在上单调递减, ∴当时,与恒成立矛盾. ②当时,对于方程(*), (ⅰ),即时,,即在上单调递增, ∴符合题意. (ⅱ),即时,方程(*)有两个不等实根,不妨设,则, 当时,,即递减,∴与恒成立矛盾. 综上,实数的取值范围为. 另解:时,恒成立, 当时,上式显然成立;当时,恒成立. 设,可证在上单调递减(需证明), 又由洛必达法则知,,∴. 故,. 点评:导数常应用于求曲线的切线方程、求函数的最值与单调区间、证明不等式和解不等式中参数的取值范围等。 |