(I)由题意,∴ , ∴,又, 即 解得. ∴------------------------------------------------4分 (II)∵,, 当时,,故在区间[-1,1]上为减函数, ∴ 对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值, ∴-------------------------------9分 (III)设切点为,则点M的坐标满足 因,故切线的方程为: , ∵,∴ 整理得. ∵若过点可作曲线的三条切线, ∴关于方程有三个实根. 设,则 , 由,得或. 由对称性,先考虑 ∵在,上单调递增,在上单调递减. ∴函数的极值点为,或 ∴关于方程有三个实根的充要条件是 ,解得. 故时,点P对应平面区域的面积 故时,所求点P对应平面区域的面积为,即8. |