(本题满分15分)已知a∈R,函数f (x) =x3 + ax2 + 2ax (x∈R).     (Ⅰ)当a = 1时,求函数f (x)的单调递增区间;   

(本题满分15分)已知a∈R,函数f (x) =x3 + ax2 + 2ax (x∈R).     (Ⅰ)当a = 1时,求函数f (x)的单调递增区间;   

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(本题满分15分)已知a∈R,函数f (x) =x3 + ax2 + 2ax (x∈R).     (Ⅰ)当a = 1时,求函数f (x)的单调递增区间;      (Ⅱ)函数f (x) 能否在R上单调递减,若是,求出a的取值范围;若不能,请说明理由;  (Ⅲ)若函数f (x)在[-1,1]上单调递增,求a的取值范围.
答案

(Ⅰ)(-1,2);  (Ⅱ) -8 ≤ a ≤ 0.(Ⅲ)a ≥ 1
解析

(Ⅰ) 当a = 1时,f (x) = x3 + x2 + 2x,   ∴ f" (x) = -x2 + x + 2,
f" (x) > 0,即-x2 + x + 2 > 0, 解得-1 <x< 2,∴函数f (x)的单调递增区间是(-1,2); 
(Ⅱ) 若函数f (x)在R上单调递减,则f" (x) ≤ 0对x∈R都成立,                 
即-x2 + ax + 2a ≤ 0对x∈R都成立,即x2 -ax-2a ≥ 0对x∈R都成立. 
∴ △ = a2 + 8a ≤ 0,  解得-8 ≤ a ≤ 0.
∴当-8 ≤ a ≤ 0时,函数f (x)能在R上单调递减;
(Ⅲ) 解法一:∵函数f (x)在[-1,1]上单调递增,
f " (x) ≥ 0对x∈[-1,1]都成立,∴-x2 + ax + 2a ≥ 0对x∈[-1,1]都成立.
a(x + 2) ≥ x2x∈[-1,1]都成立,   即a  对x∈[-1,1]都成立.
g(x) =,则g" (x) =
当-1 ≤ x < 0时,g" (x) < 0;当0 ≤ x < 1时,g" (x) > 0.
g(x)在[-1,0]上单调递减,在[0,1]上单调递增.
g(-1) = 1,g(1) =,∴g(x)在[-1,1]上的最大值是g(-1) = 1,∴a ≥ 1.
解法二:∵函数f (x)在[-1,1]上单调递增,
f " (x) ≥ 0对x∈[-1,1]都成立,∴-x2 + ax + 2a ≥ 0对x∈[-1,1]都成立.
x2 -ax - 2a ≤ 0对x∈[-1,1]都成立.  12分
g(x) = x2 -ax -2a,则
解得,∴a ≥ 1.      15分
举一反三
已知函数的图象过(-1,1)点,其反函数的图象过(8,2)点。
(1)求a,k的值;
(2)若将的图象向在平移两个单位,再向上平移1个单位,就得到函数的图象,写出的解析式;
(3)若函数的最小值及取最小值时x的值。
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已知函数
(1)若取得极小值-2,求函数的单调区间
(2)令的解集为A,且,求的范围
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已知函数
(1)   求f(x)的单调区间;
(2)   证明:lnx<
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是定义在[-1,1]上的偶函数,的图象与的图象关于直线对称,且当x∈[ 2,3 ] 时,
(1)求的解析式;
(2)若上为增函数,求的取值范围;
(3)是否存在正整数,使的图象的最高点落在直线上?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
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已知函数,在(-∞,-1),(2,+∞)上单调递增,在(-1,2)上单调递减,当且仅当x>4时,
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)若函数与函数f(x)、g(x)的图象共有3个交点,求m的取值范围.
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