已知二次函数的图像经过坐标原点,且满足,设函数,其中为非零常数(I)求函数的解析式;(II)当 时,判断函数的单调性并且说明理由;(III)证明:对任意的正整数

已知二次函数的图像经过坐标原点,且满足,设函数,其中为非零常数(I)求函数的解析式;(II)当 时,判断函数的单调性并且说明理由;(III)证明:对任意的正整数

题型:不详难度:来源:
已知二次函数的图像经过坐标原点,且满足,设函数,其中为非零常数
(I)求函数的解析式;
(II)当 时,判断函数的单调性并且说明理由;
(III)证明:对任意的正整数,不等式恒成立
答案

解析
(Ⅰ)设的图象经过坐标原点,所以c=0.
 ∴
即:
∴a=1,b=0,;……………………………………4分
(Ⅱ)函数的定义域为



,∴上恒成立,
,当时,函数在定义域上单调递减.………9分
(III)当时,,令 
上恒正,
上单调递增,当时,恒有.,
即当时,有
对任意正整数,取.………………13分
举一反三
(1)求的导数;
(2)求的导数;
(3)求的导数;
(4)求y=的导数;
(5)求y=的导数。
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函数f(x)=ax3-2bx2+cx+4d (a,b,c,d∈R)的图象关于原点对称,且x=1时,f(x)取极小值为-.
(1)求a,b,c,d的值;
(2)证明:当x∈[-1,1]时,图象上不存在两点使得过此两点处的切线互相垂直;
(3)若x1,x2∈[-1,1]时,求证:|f(x1)-f(x2)|≤.
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求下列各函数的导数:
(1)y=
(2)y=(x+1)(x+2)(x+3);
(3)y=-sin(1-2cos2);
(4)y=+.
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求下列函数的导数:
(1)y=;
(2)y=sin2(2x+);
(3)y=x.
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求y=tanx的导数.
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