已知抛物线C1:y=x2+2x和C:y=-x2+a,如果直线l同时是C1和C2的切线,称l是C1和C2的公切线,公切线上两个切点之间的线段,称为公切线段.(Ⅰ)
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已知抛物线C1:y=x2+2x和C:y=-x2+a,如果直线l同时是C1和C2的切线,称l是C1和C2的公切线,公切线上两个切点之间的线段,称为公切线段. (Ⅰ)a取什么值时,C1和C2有且仅有一条公切线?写出此公切线的方程; (Ⅱ)若C1和C2有两条公切线,证明相应的两条公切线段互相平分. |
答案
(Ⅰ)函数y=x2+2x的导数y′=2x+2, 曲线C1在点P(x1,x12+2x1)的切线方程是: y-(x12+2x1)=(2x1+2)(x-x1), 即y=(2x1+2)x-x12① 函数y=-x2+a的导数y′=-2x, 曲线C2在点Q(x2,-x22+a)的切线方程是 即y-(-x22+a)=-2x2(x-x2). y=-2x2x+x22+a.② 如果直线l是过P和Q的公切线, 则①式和②式都是l的方程, x1+1=-x2,所以-x12=x22+a. 消去x2得方程2x12+2x2+1+a=0. 若判别式△=4-4×2(1+a)=0时, 即a=-时解得x1=-,此时点P与Q重合. 即当a=-时C1和C2有且仅有一条公切线, 由①得公切线方程为y=x-. (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)可知. 当a<-时C1和C2有两条公切线 设一条公切线上切点为:P(x1,y1),Q(x2,y2). 其中P在C1上,Q在C2上,则有x1+x2=-1, y1+y2=x12+2x1+(-x22+a)=x12+2x1-(x1+1)2+a=-1+a. 线段PQ的中点为(-,). 同理,另一条公切线段P′Q′的中点也是(-,) 所以公切线段PQ和P′Q′互相平分. |
举一反三
已知函数f(x)在R上满足f(x)=2•f(2-x)-x2+8x-8,则f′(2)=______. |
已知函数f(x)=(x+1)lnx-x+1. (Ⅰ)若xf"(x)≤x2+ax+1,求a的取值范围; (Ⅱ)证明:(x-1)f(x)≥0. |
已知m<0,f(x)=mx3+x,且f′(1)≥-12,则实数m=( ) |
已知函数f(x)=在点x=2处连续,则常数a的值是( ) |
函数y=kx+b,其中k,b(k≠0)是常数,其图象是一条直线,称这个函数为线性函数.而对于非线性可导函数f(x),在已知点 x0附近一点x的函数值f(x),可以用如下方法求其近似代替值:f(x)≈f(x0)+f′(x0)(x-x0).利用这一方法,对于实数 m=,取x0=4,则m的近似代替值______m.(填“>”或“<”或“=”) |
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