已知函数f（x）=（x+1）lnx-x+1．（Ⅰ）若xf"（x）≤x2+ax+1，求a的取值范围；（Ⅱ）证明：（x-1）f（x）≥0．

题型：不详难度：来源：

已知函数f（x）=（x+1）lnx-x+1．
（Ⅰ）若xf"（x）≤x²+ax+1，求a的取值范围；
（Ⅱ）证明：（x-1）f（x）≥0．

答案

（Ⅰ）f′(x)=

x+1

x

+lnx-1=lnx+

1

x

，
xf"（x）=xlnx+1，
题设xf"（x）≤x²+ax+1等价于lnx-x≤a．
令g（x）=lnx-x，则g′(x)=

1

x

-1
 当0＜x＜1，g′（x）＞0；
当x≥1时，g′（x）≤0，x=1是g（x）的最大值点，
g（x）≤g（1）=-1
 综上，a的取值范围是[-1，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g（x）≤g（1）=-1即lnx-x+1≤0．
当0＜x＜1时，f（x）=（x+1）lnx-x+1=xlnx+（lnx-x+1）≤0；
当x≥1时，f（x）=lnx+（xlnx-x+1）=lnx+x(lnx+

1

x

-1)=lnx-x(ln

1

x

-

1

x

+1)≥0
 所以（x-1）f（x）≥0