已知a>0,n为正整数.(Ⅰ)设y=(x-a)n,证明y′=n(x-a)n-1;(Ⅱ)设fn(x)=xn-(x-a)n,对任意n≥a,证明fn+1′(n+1)>
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已知a>0,n为正整数. (Ⅰ)设y=(x-a)n,证明y′=n(x-a)n-1; (Ⅱ)设fn(x)=xn-(x-a)n,对任意n≥a,证明fn+1′(n+1)>(n+1)fn′(n). |
答案
(I)证明:令x-a=t则y=tn ∴y′=ntn-1•t′ ∵t′=1 ∴y′=ntn-1 (II)f(n+1)(x)=xn+1-(x-a)n+1 ∴f′n+1(x)=(n+1)xn-(n+1)(x-a)n ∴f′(n+1)(n+1)=(n+1)n+1-(n+1)(n+1-a)n=(n+1)(n+1)n-(n+1)(n+1-a)n 而(n+1)fn′(n)=(n+1)nn-(n+1)n(n-a)n-1 ∵(n+1)(n+1)n>(n+1)nn, ∴f′(n+1)(n+1)>(n+1)fn′(n). |
举一反三
已知函数f(x)=ax3+(a+d)x2+(a+2d)x+d,g(x)=ax2+2(a+2d)x+a+4d,其中a>0,d>0,设x0为f(x)的极小值点,x1为g(x)的极值点,g(x2)=g(x3)=0,并且x2<x3,将点(x0,f(x0)),(x1,g(x1),(x2,0)(x3,0)依次记为A,B,C,D. (1)求x0的值; (2)若四边形APCD为梯形且面积为1,求a,d的值. |
已知抛物线C1:y=x2+2x和C:y=-x2+a,如果直线l同时是C1和C2的切线,称l是C1和C2的公切线,公切线上两个切点之间的线段,称为公切线段. (Ⅰ)a取什么值时,C1和C2有且仅有一条公切线?写出此公切线的方程; (Ⅱ)若C1和C2有两条公切线,证明相应的两条公切线段互相平分. |
已知函数f(x)在R上满足f(x)=2•f(2-x)-x2+8x-8,则f′(2)=______. |
已知函数f(x)=(x+1)lnx-x+1. (Ⅰ)若xf"(x)≤x2+ax+1,求a的取值范围; (Ⅱ)证明:(x-1)f(x)≥0. |
已知m<0,f(x)=mx3+x,且f′(1)≥-12,则实数m=( ) |
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