已知实系数二次函数f(x)=ax2+bx+c对任何-1≤x≤1,都有|f(x)|≤1.(1)若f(x)=2x2-1,g′(x)=f(x),且g(0)=0,数列{
题型:不详难度:来源:
已知实系数二次函数f(x)=ax2+bx+c对任何-1≤x≤1,都有|f(x)|≤1. (1)若f(x)=2x2-1,g′(x)=f(x),且g(0)=0,数列{an}满足an=g(an-1),问数列{an}能否构成等差数列,若能,请求出满足条件的所有等差数列;若不能,请说明理由; (2)求|a|+|b|+|c|的最大值. |
答案
(1)设g(x)=dx3+ex2+hx+k, 则g′(x)=3dx2+2ex+h=2x2-1, ∴3d=2,2e=0,h=-1, ∴d=,e=0,h=-1, 又g(0)=0, ∴k=0, ∴g(x)=x3-x, 若数列{an}构成等差数列, 可设an=un+v,u,v为常数, ∵an=g(an-1), ∴an+1=g(an), ∴v+u(n+1)=(un+v)3-(un+v)(*), 当u=0时,(*)简化为v=v3-v, 由此解得:u=0,v=o,±, 所以数列{an}能构成等差数列: ①0,0,0,…;②,,,…;③-,-,-.(4分) (2)f(0)=c, f(1)=a+b+c, f(-1)=a-b+c, 三者都属于[-1,1], 设w=|a|+|b|+|c|,不妨设a>0, ①b,c≥0时,w=a+b+c=f(1)<=1; ②b,c<0时,w=a-b-c=f(-1)-2f(0)≤3; ③b≥0>c时,w=a+b-c=f(1)-2f(0)≤3; ④c≥0>b时,w=a-b+c=f(-1)≤1. 当a=2,b=0,c=-1时f(x)=2x22-1满足题设,w=3. ∴所求最大值为3. |
举一反三
设函数f(x)=(2x+5)6,则导函数f′(x)中的x3的系数是______. |
已知函数f(x)=x+(t>0)和点P(1,0),过点P作曲线y=f(x)的两条切线PM、PN,切点分别为M、N. (Ⅰ)设|MN|=g(t),试求函数g(t)的表达式; (Ⅱ)是否存在t,使得M、N与A(0,1)三点共线.若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由. (Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下,若对任意的正整数n,在区间[2,n+]内总存在m+1个实数a1,a2,…,am,am+1,使得不等式g(a1)+g(a2)+…+g(am)<g(am+1)成立,求m的最大值. |
若f(x)在R上可导, (1)求f(-x)在x=a处的导数与f(x)在x=-a处的导数的关系; (2)证明:若f(x)为偶函数,则f′(x)为奇函数. |
若函数f(x)=x3+2x2-1,则f′(-1)=( ) |
设函数f(x)=(1-2x)10,则导函数f′(x)的展开式x2项的系数为( )A.1440 | B.-1440 | C.-2880 | D.2880 |
|
最新试题
热门考点