(Ⅰ)设M、N两点的横坐标分别为x1、x2, ∵f′(x)=1-, ∴切线PM的方程为:y-(x1+)=(1-)(x-x1), 又∵切线PM过点P(1,0),∴有0-(x1+)=(1-)(1-x1), 即x12+2tx1-t=0,(1) 同理,由切线PN也过点P(1,0),得x22+2tx2-t=0.(2) 由(1)、(2),可得x1,x2是方程x2+2tx-t=0的两根,∴(*)|MN|= = | [(x1+x2)2-4x1x2][1+(1-)2] | , 把(*)式代入,得|MN|=, 因此,函数g(t)的表达式为g(t)=(t>0). (Ⅱ)当点M、N与A共线时,kMA=kNA, ∴=,即=, 化简,得(x2-x1)[t(x2+x1)-x1x2]=0 ∵x1≠x2,∴t(x2+x1)=x2x1.(3) 把(*)式代入(3),解得t=. ∴存在t,使得点M、N与A三点共线,且t=. (Ⅲ)知g(t)在区间[2 , n+]上为增函数, ∴g(2)≤g(ai)≤g(n+)(i=1,2,,m+1), 则m•g(2)≤g(a1)+g(a2)++g(am)≤m•g(n+). 依题意,不等式m•g(2)<g(n+)对一切的正整数n恒成立, m<, 即m<对一切的正整数n恒成立. ∵n+≥16,∴≥=, ∴m<.由于m为正整数,∴m≤6. 又当m=6时,存在a1=a2═am=2,am+1=16,对所有的n满足条件. 因此,m的最大值为6. |