设函数f(x)=ax-(1+a2)x2,其中a>0,区间I={x|f(x)>0}(Ⅰ)求I的长度(注:区间(a,β)的长度定义为β-α);(Ⅱ)给定常数k∈(0
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设函数f(x)=ax-(1+a2)x2,其中a>0,区间I={x|f(x)>0} (Ⅰ)求I的长度(注:区间(a,β)的长度定义为β-α); (Ⅱ)给定常数k∈(0,1),当1-k≤a≤1+k时,求I长度的最小值. |
答案
(Ⅰ)因为方程ax-(1+a2)x2=0(a>0)有两个实根x1=0,x2=>0, 故f(x)>0的解集为{x|x1<x<x2}, 因此区间I=(0,),区间长度为; (Ⅱ)设d(a)=,则d′(a)=, 令d′(a)=0,得a=1,由于0<k<1, 故当1-k≤a<1时,d′(a)>0,d(a)单调递增;当1<a≤1+k时,d′(a)<0,d(a)单调递减, 因此当1-k≤a≤1+k时,d(a)的最小值必定在a=1-k或a=1+k处取得, 而==<1,故d(1-k)<d(1+k), 因此当a=1-k时,d(a)在区间[1-k,1+k]上取得最小值,即I长度的最小值为. |
举一反三
已知f(x)=x2+3xf′(1),则f′(1)为______. |
设函数f(x)满足x2f′(x)+2xf(x)=,f(2)=,则x>0时,f(x)( )A.有极大值,无极小值 | B.有极小值,无极大值 | C.既有极大值又有极小值 | D.既无极大值也无极小值 |
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设数列{an}满足a1=2,a2+a4=8,且对任意n∈N*,函数 f(x)=(an-an+1+an+2)x+an+1cosx-an+2sinx满足f′()=0 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若bn=2(an+)求数列{bn}的前n项和Sn. |
已知实数a,b,c∈R,函数f(x)=ax3+bx2+cx满足f(1)=0,设f(x)的导函数为f′(x),满足f′(0)f′(1)>0. (1)求的取值范围; (2)设a为常数,且a>0,已知函数f(x)的两个极值点为x1,x2,A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),求证:直线AB的斜率k∈(-,-]. |
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