设数列{an}满足a1=2,a2+a4=8,且对任意n∈N*,函数 f(x)=(an-an+1+an+2)x+an+1cosx-an+2sinx满足f′(π2)
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设数列{an}满足a1=2,a2+a4=8,且对任意n∈N*,函数 f(x)=(an-an+1+an+2)x+an+1cosx-an+2sinx满足f′(π2)
题型:安徽
难度:
来源:
设数列{a
n
}满足a
1
=2,a
2
+a
4
=8,且对任意n∈N
*
,函数 f(x)=(a
n
-a
n+1
+a
n+2
)x+a
n+1
cosx-a
n+2
sinx满足f′(
π
2
)=0
(Ⅰ)求数列{a
n
}的通项公式;
(Ⅱ)若b
n
=2(a
n
+
1
2
a
n
)求数列{b
n
}的前n项和S
n
.
答案
(I)∵f
′
(x)=a
n
-a
n+1
+a
n+2
-a
n+1
sinx-a
n+2
cosx,
f
′
(
π
2
)=0
.
∴2a
n+1
=a
n
+a
n+2
对任意n∈N
*
,都成立.
∴数列{a
n
}是等差数列,设公差为d,∵a
1
=2,a
2
+a
4
=8,∴2+d+2+3d=8,解得d=1.
∴a
n
=a
1
+(n-1)d=2+n-1=n+1.
(II)由(I)可得,
b
n
=2(n+1+
1
2
n+1
)
=2(n+1)+
1
2
n
,
∴S
n
=2[2+3+…+(n+1)]+
1
2
+
1
2
2
+…+
1
2
n
=
2×
n(2+n+1)
2
+
1
2
[1-(
1
2
)
n
]
1-
1
2
=
n
2
+3n+1-
1
2
n
.
举一反三
已知实数a,b,c∈R,函数f(x)=ax
3
+bx
2
+cx满足f(1)=0,设f(x)的导函数为f′(x),满足f′(0)f′(1)>0.
(1)求
c
a
的取值范围;
(2)设a为常数,且a>0,已知函数f(x)的两个极值点为x
1
,x
2
,A(x
1
,f(x
1
)),B(x
2
,f(x
2
)),求证:直线AB的斜率
k∈(-
2a
9
,-
a
6
]
.
题型:镇江一模
难度:
|
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己知f(x)=xsinx,则f′(π)=( )
A.O
B.-1
C.π
D.-π
题型:绵阳一模
难度:
|
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已知函数f(x
0
)=ln(x+
x
2
+1
),则f′(x)是( )
A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.既奇又偶函数
题型:不详
难度:
|
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定义在(0,
π
2
)上的函数f(x),f′(x)是它的导函数,且恒有f(x)<f′(x)tanx成立,则( )
A.
3
f(
π
4
)>
2
f(
π
3
)
B.
f(1)<2f(
π
6
)sin1
C.
2
f(
π
6
)>f(
π
4
)
D.
3
f(
π
6
)<f(
π
3
)
题型:沈阳二模
难度:
|
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设曲线y=x
n+1
(n∈N
*
)在点(1,l)处的切线与x轴的交点的横坐标为x
n
,则log
2013
x
1
+log
2013
x
2
+log
2013
x
3
+…+log
2013
x
2011
+log
2013
x
2012
的值为( )
A.-log
2013
2012
B.-1
C.(log
2013
2012)-l
D.1
题型:昌图县模拟
难度:
|
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