设函数f(x)的导函数为f′(x),若f(x)=ax3-ax2+[f′(1)2-1]x,a∈R.(1)a表示f′(1);(II)若函数f(x)f在R上存在极值,
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设函数f(x)的导函数为f′(x),若f(x)=ax3-ax2+[f′(1)2-1]x,a∈R.(1)a表示f′(1);(II)若函数f(x)f在R上存在极值,
题型:崇文区二模
难度:
来源:
设函数f(x)的导函数为f′(x),若
f(x)=
ax
3
-
ax
2
+[
f′(1)
2
-1]x,a∈R
.
(1)a表示f′(1);
(II)若函数f(x)f在R上存在极值,求a的范围.
答案
(I)f′(x)=
3a
x
2
-2ax+
f′(1)
2
-1
,
把x=1代入上式得
f′(1)=a+
f′(1)
2
-1
,
所以f′(1)=2a-2;
(II)由(1)可知:f′(x)=3ax
2
-2ax+a-2,
a=0时,f′(x)=-2<0,所以f(x)在R上单调递减,无极值;
当a≠0时,若函数f(x)f在R上存在极值,则f′(x)=0必须有两个相异根.
故△>0,即4a
2
-4×3a×(a-2)>0,
即4a
2
-12a(a-2)>0,
解得0<a<3.
举一反三
求函数f(x)=
x
2
sin
π
x
(x≠0)
0(x=0)
的导数.
题型:北京
难度:
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将函数f(x)=e
x
展开为x的幂级数,并求出收敛区间.(e=2.718为自然对数的底)
题型:河北
难度:
|
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附加题:
(1)求y=xarctgx
2
的导数;
(2)求过点(-1,0)并与曲线
y=
x+1
x+2
相切的直线方程.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=e
-x
(cosx+sinx),将满足f"(x)=0的所有正数x从小到大排成数列{x
n
}.
(Ⅰ)证明数列{f{x
n
}}为等比数列;
(Ⅱ)记S
n
是数列{x
n
f{x
n
}}的前n项和,求
lim
n→∞
S
1
+
S
2
+…+
S
n
n
.
题型:贵州
难度:
|
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求函数
y=
e
-2x
sin(5x+
π
4
)
的导数.
题型:福建
难度:
|
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