已知函数f(x)=sinx+cosx,f′(x)是f(x)的导函数.(1)求函数F(x)=f(x)f′(x)+f2(x)的最小正周期和单调递增区间;(2)若f(
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已知函数f(x)=sinx+cosx,f′(x)是f(x)的导函数.(1)求函数F(x)=f(x)f′(x)+f2(x)的最小正周期和单调递增区间;(2)若f(
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已知函数f(x)=sinx+cosx,f′(x)是f(x)的导函数.
(1)求函数F(x)=f(x)f′(x)+f
2
(x)的最小正周期和单调递增区间;
(2)若f(x)=2f′(x),求
1+
sin
2
x
cos
2
x-sinxcosx
的值.
答案
(1)因为f(x)=sinx+cosx,所以f"(x)=cosx-sinx,
所以
F(x)=(sinx+cosx)(cosx-sinx)+(sinx+cosx
)
2
=cos2x+1+sin2x=
2
sin(2x+
π
4
)
+1,
所以T=π;
由
2x+
π
4
∈[2kπ-
π
2
,2kπ+
π
2
](k∈Z)
,得
x∈[kπ-
3
8
π,kπ+
π
8
]
(k∈Z)
单调递增区间为
[kπ-
3
8
π,kπ+
π
8
]
(k∈Z).
(2)由f(x)=2f′(x),得:sinx+cosx=2cosx-2sinx,即
tanx=
1
3
所以
1+
sin
2
x
cos
2
x-sinxcosx
=
2
sin
2
x+
cos
2
x
cos
2
x-sinxcosx
=
2
tan
2
x+1
1-tanx
=
11
6
.
举一反三
若f(x)=2xf′(1)-x
2
+4x,则f′(1)=______.
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函数y=ln|x|的导数为______.
题型:不详
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已知f(x)=x
3
+x
2
f′(1)+3xf′(-1),则f′(1)+f′(-1)的值为 ______﹒
题型:不详
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记f
(1)
(x)=[f(x)]′,f
(2)
(x)=[f
(1)
(x)]′,…,f
(n)
(x)=[f
(n-1)
(x)]′(n∈N
+
,n≥2).若f(x)=xcosx,则f(0)+f
(1)
(0)+f
(2)
+L+f
(2013)
(0)的值为______.
题型:不详
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函数f(x)=tanx在点(
π
4
,1)处的切线斜率是 ______.
题型:不详
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