设函数f（x）=（x+1）2-2klnx．（1）当k=2时，求函数f（x）的增区间；（2）当k＜0时，求函数g（x）=f′（x）在区间（0，2]上的最小值．
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设函数f（x）=（x+1）2-2klnx．
（1）当k=2时，求函数f（x）的增区间；
（2）当k＜0时，求函数g（x）=f′（x）在区间（0，2]上的最小值． |
答案
解（1）k=2，f（x）=（x+1）2-4lnx．
则f′（x）=2x+2-=(x-1)(x+2)＞0，（此处用“≥”同样给分）
注意到x＞0，故x＞1，于是函数的增区间为（1，+∞）．（写为[1，+∞）同样给分）
（2）当k＜0时，g（x）=f′（x）=2x+2-．
g（x）=2(x+)+2≥4+2，当且仅当x=时，上述“≥”中取“=”．
①若∈（0，2]，即当k∈[-4，0）时，函数g（x）在区间（0，2]上的最小值为4+2；
②若k＜-4，则g′(x)=2(1+)在（0，2]上为负恒成立，故g（x）在区间（0，2]上为减函数，
，于是g（x）在区间（0，2]上的最小值为g（2）=6-k．
综上所述，当k∈[-4，0）时，函数g（x）在区间（0，2]上的最小值为4+2；
当k＜-4时，函数g（x）在区间（0，2]上的最小值为6-k． |
举一反三
| 已知函数f（x）=ax+2，若f′（1）=2，则a为（ ） |
| 设函数f(x)=sinθ•x3+cosθ•x2+tanθ，其中θ∈[0，]，则导数f′（1）的取值范围是______． |
| 若曲线y=ex+x2在x=1处的切线与直线ax-y+1=0平行，则实数a=______． |
| 已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的导函数是g（x），a+b+c=0，g（0）•g（1）＜0．设x1，x2是方程g（x）=0的两根，则|x1-x2|的取值范围为______． |
| 已知函数g（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的导函数为f（x），a+b+c=0，且f（0）•f（1）＞0，设x1，x2是方程f（x）=0的两个根，则|x1-x2|的取值范围为（ ） |
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