已知函数f(x)=x3+ax2+2,若f(x)的导函数f′(x)的图象关于直线x=1对称.(Ⅰ)求导函数f′(x)及实数a的值;(Ⅱ)求函数y=f(x)在区间[

已知函数f(x)=x3+ax2+2,若f(x)的导函数f′(x)的图象关于直线x=1对称.(Ⅰ)求导函数f′(x)及实数a的值;(Ⅱ)求函数y=f(x)在区间[

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已知函数f(x)=x3+ax2+2,若f(x)的导函数f′(x)的图象关于直线x=1对称.
(Ⅰ)求导函数f′(x)及实数a的值;
(Ⅱ)求函数y=f(x)在区间[-1,2]上的最大值和最小值.
答案
(Ⅰ)f′(x)=3x2+2ax,
因为f′(x)的图象关于直线x=1对称,所以-
1
3
a=1,a=-3,从而f′(x)=3x2-6x.
故f′(x)=3x2-6x,a=-3.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:f(x)=x3-3x2+2,f′(x)=3x(x-2),
则当x∈[-1,0)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(0,2)时,f′(x)<0,f(x)单调递减.
∴f(0)=2为极大值,又f(-1)=-2,f(2)=-2.
所以y=f(x)在区间[-1,2]上的最大值为2,最小值为-2.
举一反三
函数y=(2x+1)3在x=0处的导数是(  )
A.0B.1C.3D.6
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已知函数f(x)=cos(


3
x+φ)φ∈(0,π),若f(x)+f′(x)为奇函数,则φ的值为(  )
A.
π
3
B.
π
4
C.
π
6
D.
π
2
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已知函数f(x)=x+lnx,则f′(1)的值为(  )
A.1B.2C.-1D.-2
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y=xcosx在x=
π
3
处的导数值是______.
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求下列函数的导数:
(1)y=ln


x

(2)y=sin(-5x+2).
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