已知函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),对任意的x∈R,恒有f′(x)≤f(x),(Ⅰ)证明:当x≥0时,f(x)≤(x+c)2;(Ⅱ)若对满足题设条件

已知函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),对任意的x∈R,恒有f′(x)≤f(x),(Ⅰ)证明:当x≥0时,f(x)≤(x+c)2;(Ⅱ)若对满足题设条件

题型:湖南省高考真题难度:来源:
已知函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),对任意的x∈R,恒有f′(x)≤f(x),
(Ⅰ)证明:当x≥0时,f(x)≤(x+c)2
(Ⅱ)若对满足题设条件的任意b,c,不等式f(c)-f(b)≤M(c2-b2)恒成立,求M的最小值.
答案
解:(Ⅰ)易知f′(x)=2x+b,由题设,对任意的x∈R,2x+b≤x2+bx+c,
即x2+(b-2)x+c-b≥0恒成立,
所以(b-2)2-4(c-b)≤0,从而
于是c≥1,且=|b|,
因此2c-b=c+(c-b)>0,
故当x≥0时,有(x+c)2-f(x)=(2c-b)x+c(c-1)≥0,
即当x≥0时,f(x)≤(x+c)2
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,c≥|b|,
当c>|b|时,有

而函数g(t) =2-的值域是
因此,当c>|b|时,M的取值集合为
当c=|b|时,由(Ⅰ)知,b=±2,c=2,此时f(c)-f(b)=-8或0,
c2-b2=0,从而f(c)-f(b)≤(c2-b2)恒成立;
综上所述,M的最小值为
举一反三
f′(x)是函数f(x)=x3+x2+3的导函数,则f′(-1)=(    )。
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已知函数f(x)=x2+3xf′(2),则f′(2)=(    )。
题型:模拟题难度:| 查看答案
已知可导函数f(x)(x∈R)满足f′(x)>f(x),则当a>0时,f(a)和eaf(0)大小关系为

[     ]

A.f(a)>eaf(0)
B.f(a)<eaf(0)
C.f(a)=eaf(0)
D.f(a)≤eaf(0)
题型:0104 模拟题难度:| 查看答案
已知函数f(x)在R上可导,且f(x)=x2+2x·f′(2),则f(-1)与f(1)的大小关系为

[     ]

A.f(-1)=f(1)
B.f(-1)>f(1)
C.f(-1)<f(1)
D.不确定
题型:北京模拟题难度:| 查看答案
若f(x)=x2-2x-4lnx,则f′(x)>0的解集为[     ]
A.(0,+∞)
B.(-1,0)∪(2,+∞)
C.(2,+∞)
D.(-1,0)
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