试题分析:(1)当时,函数,于是可利用导数研究函数的单调性与极值; (2)当时, 要证在区间内存在唯一的零点,只要证在区间内单调且即可; (3)先求和,再根据得到,结合(2)的结论:函数在区间内是单调递增的,从而得到,结论得证. 解:(1)由已知,得:
由得: 当时,单调递增 当时,单调递减 所以是函数的极大值点,无极小值点 故的极大值为,无极小值. (2)由已知,得: ∴易得: 于是在区间内存在零点; 又当时,恒成立 ∴函数在区间内是单调递增的 故在区间内存在唯一的零点. (8分) 解:(3):数列是单调递减的. 理由如下: (9分) 由(2)设 是在内唯一的零点, 则 又, 于是 即 由(2)在上是单调递增的, ∴当时,. 故数列是单调递减的. (14分) |