试题分析:(1)当 时,函数 ,于是可利用导数研究函数的单调性与极值; (2)当 时,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018090002-78550.png) 要证 在区间 内存在唯一的零点,只要证 在区间 内单调且 即可; (3)先求 和 ,再根据 得到 ,结合(2)的结论:函数 在区间 内是单调递增的,从而得到 ,结论得证. 解:(1)由已知,得:![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018090004-53793.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018090004-47826.png) 由 得:![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018090005-20795.png)
当 时,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018090005-22193.png) 单调递增 当 时,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018090006-72069.png) 单调递减 所以 是函数 的极大值点,无极小值点 故的极大值为 ,无极小值. (2)由已知,得:![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018090007-51785.png) ∴易得: 于是 在区间 内存在零点; 又当 时, 恒成立 ∴函数 在区间 内是单调递增的 故 在区间 内存在唯一的零点. (8分) 解:(3):数列 是单调递减的. 理由如下: (9分) 由(2)设 是 在 内唯一的零点, 则![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018090008-20874.png) 又 ,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018090003-58333.png) 于是![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018090008-33034.png) ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018090008-23938.png) 即![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018090009-88711.png) 由(2) 在 上是单调递增的, ∴当 时, . 故数列 是单调递减的. (14分) |