已知函数f(x)=2ax--(2+a)lnx(a≥0).(1)当a=0时,求f(x)的极值;(2)当a>0时,讨论f(x)的单调性;(3)若对任意的a∈(2,3

已知函数f(x)=2ax--(2+a)lnx(a≥0).(1)当a=0时,求f(x)的极值;(2)当a>0时,讨论f(x)的单调性;(3)若对任意的a∈(2,3

题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=2ax--(2+a)lnx(a≥0).
(1)当a=0时,求f(x)的极值;
(2)当a>0时,讨论f(x)的单调性;
(3)若对任意的a∈(2,3),x­1,x2∈[1,3],恒有(m-ln3)a-2ln3>|f(x1)-f(x­2)|成立,求实数m的取值范围。
答案
(1)的极大值为,无极小值.(3)
解析

试题分析:(1)求已知函数的极值,利用导数法,即求定义域,求导,求导数为0与单调区间,判断极值点求出极值. (2) 求定义域,求导.利用数形结合思想讨论导数(含参数二次不等式)的符号求f(x)的单调区间,讨论二次含参数不等式注意按照定性(二次项系数是否为0),开口,判别式,两根大小得顺序依次进行讨论,进而得到函数f(x)的单调性(注意单调区间为定义域的子集)(3)这是一个恒成立问题,只需要(m-ln3)a-2ln3>(|f(x1)-f(x­2)|),故求解确定|f(x1)-f(x­2)|最大值很关键,分析可以发现(|f(x1)-f(x­2)|)=,故可以利用第二问单调性来求得函数的最值进而得到(|f(x1)-f(x­2)|). (m-ln3)a-2ln3>(|f(x1)-f(x­2)|)对于任意的a∈(2, 3)恒成立,则也是一个恒成立问题,可以采用分离参数法就可以求的m的取值范围.
试题解析:(1)当时,,由,解得 ,可知上是增函数,在上是减函数.
的极大值为,无极小值.

①当时,上是增函数,在上是减函数;
②当时,上是增函数;
③当时,上是增函数,在上是减函数  8分
(3)当时,由(2)可知上是增函数,
.
对任意的a∈(2, 3),x­1, x2∈[1, 3]恒成立,

对任意恒成立,
对任意恒成立,由于当时,,∴.  
举一反三
设函数
(1)求函数的单调区间;
(2)若当时,不等式恒成立,求实数的取值范围;   
(3)若关于的方程在区间上恰好有两个相异的实根,求实数的取值范围.
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已知函数处有极大值
(1)求的解析式;
(2)求的单调区间;
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函数的单调递增区间是      
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已知函数在区间上单调递增,在上单调递减,其图象与轴交于三点,其中点的坐标为
(1)求的值;
(2)求的取值范围;
(3)求的取值范围.
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的导函数,的图像如右图所示,则的图像只可能是(   )

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