设f(x)=x3+ax2+bx+1的导数f′(x)满足f′(1)=2a,f′(2)=-b,其中a,b∈R.①求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
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设f(x)=x3+ax2+bx+1的导数f′(x)满足f′(1)= 2a,f′(2)=-b,其中a,b∈R. ①求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;②设g(x)=f′(x)e-x,求g(x)的极值. |
答案
①6x+2y-1=0. ②极小值g(0)=-3;极大值g(3)=15e-3 |
解析
①f′(x)=3x2+2ax+b. ∵f′(1)=2a,f′(2)=-b, ∴3+2a+b=2a,12+4a+b=-b.∴a=-,b=-3. ∴f(x)=x3-x2-3x+1.从而f(1)=-.又f′(1)=2a=-3, ∴f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y+=-3(x-1),即6x+2y-1=0. ②g(x)=(3x2-3x-3)e-x, ∴g′(x)=(6x-3)e-x- e-x(3x2-3x-3)=(-3x2+9x)e-x. 令g′(x)=0得x=0或x=3. 当x∈(-∞,0)时,g′(x)<0; 当x∈(0,3)时,g′(x)>0; 当x∈(3,+∞)时,g′(x)<0. ∴g(x)在(-∞,0)上是减函数,在(0,3)上是增函数,在(3,+∞)上是减函数. 当x=0时,g(x)取得极小值g(0)=-3;当x=3时,g(x)取得极大值g(3)=15e-3 |
举一反三
已知函数f(x)=x3-ax-1 (1)若f(x)在实数集R上单调递增,求a的取值范围; (2)是否存在实数a,使f(x)在(-1,1)上单调递减,若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由; (3)证明f(x)=x3-ax-1的图象不可能总在直线y=a的上方. |
直线y=a与函数y=x3-3x的图象有三个相异的交点,则a的取值范围为 ( ).A.(-2,2) | B.[-2,2] | C.[2,+∞) | D.(-∞,-2] |
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设函数f(x)=x3--2x+5,若对任意的x∈[-1,2],都有f(x)>m,则实数m的取值范围为________. |
函数f(x)=x3-3a2x+a(a>0)的极大值为正数,极小值为负数,则a的取值范围为________. |
已知函数f(x)=4x3+3tx2-6t2x+t-1,x∈R,其 中t∈R. ①当t=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; ②当t≠0时,求f(x)的单调区间. |
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