已知函数f(x)=4x3+3tx2-6t2x+t-1,x∈R,其中t∈R.①当t=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;②当t≠0时,求f(
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已知函数f(x)=4x3+3tx2-6t2x+t-1,x∈R,其 中t∈R. ①当t=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; ②当t≠0时,求f(x)的单调区间. |
答案
①6x+y=0②在上递增,上递减,(-t,+∞)上递增. |
解析
①t=1时,f(x)=4x3+3x2-6x,f′(x)=12x2+6x-6,f′(0)=-6,又f(0)=0. ∴曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y-0=-6(x-0),即6x+y=0. ②t≠0时,f′(x)=12x2+6tx-6t2=6(2x2+tx-t2)=6(x+t)(2x-t).若t>0,则由f′(x)>0得x<-t或x>,f′(x)<0得-t<x<, ∴f(x)在(-∞,-t)上递增,在上递减.在上递增, 若t<0,则由f′(x)>0得x<或x>-t,由f′(x)<0得<x<-t. ∴f(x)在上递增,上递减,(-t,+∞)上递增. |
举一反三
函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f(x)>0,f′(x)>0,则函数y=xf(x)( )A.存在极大值 | B.存在极小值 | C.是增函数 | D.是减函数 |
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函数f(x)的定义域是R,f(0)=2,对任意x∈R,f(x)+f′(x)>1,则不等式ex·f(x)>ex+1的解集为( )A.{x|x>0} | B.{x|x<0} | C.{x|x<-1或x>1} | D.{x|x<-1或0<x<1} |
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设函数f(x)的定义域为R,x0(x0≠0)是f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是( )A.∀x∈R,f(x)≤f(x0) | B.-x0是f(-x)的极小值点 | C.-x0是-f(x)的极小值点 | D.-x0是-f(-x)的极小值点 |
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已知f(x)=x3-6x2+9x-abc,a<b<c,且f(a)=f(b)=f(c)=0.现给出如下结论: ①f(0)f(1)>0;②f(0)f(1)<0;③f(0)f(3)>0; ④f(0)f(3)<0. 其中正确结论的序号是( ) |
函数f(x)=的单调递减区间是________. |
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