设a为实数,函数f(x)=ex-2x+2a,x∈R.(Ⅰ)求f(x)的单调区间与极值;(Ⅱ)求证:当a>ln2-1且x>0时,ex>x2-2ax+1.
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设a为实数,函数f(x)=ex-2x+2a,x∈R.(Ⅰ)求f(x)的单调区间与极值;(Ⅱ)求证:当a>ln2-1且x>0时,ex>x2-2ax+1.
题型:不详
难度:
来源:
设a为实数,函数f(x)=e
x
-2x+2a,x∈R.
(Ⅰ)求f(x)的单调区间与极值;
(Ⅱ)求证:当a>ln2-1且x>0时,e
x
>x
2
-2ax+1.
答案
(Ⅰ)f(x)的单调递减区间是(-∞,ln2),单调递增区间是(ln2,+∞),极小值为f(ln2)=e
ln2
-2ln2+2a=2(1-ln2+a);(Ⅱ)求证:当a>ln2-1且x>0时,e
x
>x
2
-2ax+1.
解析
试题分析:(Ⅰ)要求函数的单调区间和极值,需要求导,f(x)求导之后的结果f ′(x)=e
x
-2,令f ′(x)=0,得x=ln2,列出x,f ′(x),f(x)的变化情况表,根据表格写出函数的单增区间,单减区间,以及极小值为f(ln2)=e
ln2
-2ln2+2a=2(1-ln2+a),没有极大值;(Ⅱ)要证明不等式,最常用的方法是构造函数g(x)=e
x
-x
2
+2ax-1,求导得g′(x)=e
x
-2x+2a,由题意,a>ln2-1及(Ⅰ)知,则g′(x)的最小值为g′(ln2)=2(1-ln2+a)>0,因而对任意x∈R,都有g′(x)>0,所以g(x)在R内单调递增,那么当x∈(0,+∞),必有g(x)>g(0),而g(0)=0,所以e
x
>x
2
-2ax+1.
试题解析:(Ⅰ)由f(x)=e
x
-2x+2a,x∈R知f ′(x)=e
x
-2,x∈R.
令f ′(x)=0,得x=ln2.
于是当x变化时,f ′(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,ln2)
ln2
(ln2,+∞)
f ′(x)
-
0
+
f(x)
单调递减↘
2(1-ln2+a)
单调递增↗
故f(x)的单调递减区间是(-∞,ln2),单调递增区间是(ln2,+∞),f(x)在x=ln2处取得极小值,极小值为f(ln2)=e
ln2
-2ln2+2a=2(1-ln2+a).
(Ⅱ)设g(x)=e
x
-x
2
+2ax-1,x∈R.
于是g′(x)=e
x
-2x+2a,x∈R.
由(Ⅰ)知,当a>ln2-1时,g′(x)的最小值为g′(ln2)=2(1-ln2+a)>0.
于是对任意x∈R,都有g′(x)>0,
∴g(x)在R内单调递增.
于是当a>ln2-1时,对任意x∈(0,+∞),都有g(x)>g(0).
而g(0)=0,从而对任意x∈(0,+∞),g(x)>0.
即e
x
-x
2
+2ax-1>0,故e
x
>x
2
-2ax+1.
举一反三
设
,函数
.
(Ⅰ)求
的值;
(Ⅱ)求函数
的单调区间.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
(Ⅰ)求曲线
在点
处的切线方程;
(Ⅱ)求函数
的极值;
(Ⅲ)对
恒成立,求实数
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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若函数
有大于零的极值点,则
的取值范围是_________.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知函数
.
(1)若函数
在
上单调递增,求实数
的取值范围.
(2)记函数
,若
的最小值是
,求函数
的解析式.
题型:不详
难度:
|
查看答案
设函数
,
;
(1)求证:函数
在
上单调递增;
(2)设
,
,若直线
轴,求
两点间的最短距离.
题型:不详
难度:
|
查看答案
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